Eljárás Ljapunov függvények - a tanulmány a nemlineáris rendszerek, Ljapunov módszer
Ez a módszer nem korlátozza a jobb oldali (1) vagy a (4), amellett, hogy a feltételek a létezés és egyediségét megoldásokat. Ezt fel lehet használni, hogy tanulmányozza a stabilitás a mozgás bármilyen differenciálegyenlet-rendszert, de sajnos, a mai napig nem alakult ki általános módszert alkalmaztuk, Ljapunov függvények kezeléséhez szükséges stabilitását mozgás nemlineáris rendszerek.
A tanuló stabilitásának mozgások Nemlineáris típusú (1), ez a módszer is tartja a rendszer differenciálegyenletek eltérések (4). A feladat az, hogy meghatározza azokat a feltételeket, a vektor függvény. amelyben az egyensúlyi helyzetben a rendszer aszimptotikusan stabil. Amint azt a fentiekben megjegyeztük, az egyensúlyi helyzet a rendszer (4) aszimptotikusan stabil, ha annak állapot vektor megfelel a feltételeknek (11).
Ha a pozíciót az egyensúlyi rendszer aszimptotikusan stabil, a távolság a reprezentatív pont a származási csökken az idővel, valószínűleg a nem monoton például ábrán látható. 4. Ha a rendszer nem szinguláris pont aszimptotikusan stabil, ez a távolság nem csökken.
Az az elképzelés, a második módszer az, hogy össze egy Ljapunov valamilyen funkciót. állapotától függően vektor a vizsgált rendszerrel, pozitív és monoton csökkenő csökkenő. Ha ez a funkció megy nulla, mint a távolság a reprezentatív pontján az egyensúlyi helyzetből, akkor egyértelmű, megfelelő egyensúlyi helyzete aszimptotikusan stabil.
Más szóval, a stabilitás, vagy bizonytalanság a zavartalan rendszer mozgás lehet állítani vizsgálatával a viselkedését a funkciót idővel.
Az ilyen függvények Ljapunov függvények. Ljapunov függvény általában mindig nagyobb, mint nulla és negatív idő szerinti deriváltja (abban az esetben, a stabilitás a egyensúlyi helyzet) definiált változók pályája a vizsgált rendszerrel.
Ebben a tekintetben, úgy véljük, a koncepció végleges funkció t. E. A pozitív (negatív) határozott és állandó jel pozitív (negatív) szemidefinit funkciókat, valamint a koncepció egy deriváltat mentén az idő pályáira dinamikus rendszer.
Tekintsük a funkciót. Legyen ez a függvény differenciálható, azaz annak részleges származékok egyáltalán léteznek.
Definíció. A funkció az úgynevezett pozitív definit, ha bármilyen
Pozitív határozott funkció jelzi. Pozitív határozott funkciók például, függvény
Definíció. A funkció az úgynevezett pozitív szemidefinit, ha
Pozitív félig határozott jelzett funkciót. Pozitív félig határozott funkció egy, például a funkció
Negatívan definiált függvény meghatározása a következő:
Negatív határozott jelzett funkciót. és a negatív szemidefinit.
Definíció. A funkció az úgynevezett végtelen, ha bármennyi van, hogy körén kívül az egyenlőtlenség.
Kvadratikus formák. Gyakran, mint egy meghatározott funkciója segítségével négyzetes formák, azaz. E. A típus a funkció
Mátrix P kvadratikus formák általában szimmetrikus mátrixok, azaz. E. Azok, amelyekben
Feltételek pozitív definit kvadratikus formák szimmetrikus mátrix a következők.
Sylvester kritérium. A pozitív meghatározottsága a kvadratikus alak (13), (14) szükséges és elégséges, hogy az összes diagonális kiskorúak a mátrix P szigorúan nagyobb, mint nulla.
Mátrix P kielégítő kritériuma Sylvester, az úgynevezett pozitív definit és szintén hivatkozott.
Legyen P mátrix szimmetrikus, azaz a. E.
Ahhoz, hogy megbecsüljük a jel meghatározottsága mátrix találjuk a következő selejtező:
Ezután, összhangban a kritériuma Sylvester mátrix. ha
Meghatározása a származék adott időben mentén pályái a rendszer. Ez a származék fontos szerepet játszik a vizsgálatok a stabilitás mozgások dinamikai rendszerek által Ljapunov függvény. Képzeljünk el egy funkciót. A rendszer bizonyos állami változók (4). Találunk a deriváltat mentén az idő pályái a rendszert. Általános szabály különbségtétel összetett funkciók
Tekintettel azonban a (4) egyenlet. Ezért, az idő függvény deriváltját V (x) pályája mentén a rendszer (4) képlet adja meg
2. példa Let. és az egyenletek a rendszer az űrlapot. Keresse meg a származékot az idő függvényében mentén pályái az adott rendszer.
Határozat. Az alábbi (16) és (17) találunk
vagy a meghatározott egyenletek és:
Amint látható, a származék negatív határozott. Ez azt jelzi, hogy a funkció monoton csillapított, csökkenő nagyságrendű. Mivel csak lehet csökkenésével csökken. a norma az oldat a rendszer, nyilván nullához. És ez igaz a kezdeti feltételek. Következésképpen, a egyensúlyi helyzetben a rendszer aszimptotikusan stabil, mint egy egész.
Megjegyzendő, hogy ez a következtetés megoldása nélkül differenciálegyenletek adott nemlineáris, és bármely más matematikai műveleteket őket.
Az alapot a második Ljapunov módszer a tanulmány a dinamikus rendszerek mozgások tartalmazzák a következő tétel [2, 20].
Tétel 4 (aszimptotikus stabilitás). Ha az
minden van egy pozitív-meghatározott funkciója, hogy annak deriváltja időben mentén pályái a rendszer (4) egy negatív meghatározott funkciója, akkor az egyensúlyi állapotban a rendszer aszimptotikusan stabil a nagy.
5. Tétel (instabilitás). Ha egyáltalán. van egy pozitív-meghatározott funkciója, hogy annak deriváltja időben mentén pályái a rendszer (2) szintén pozitív határozott funkció, az egyensúlyi helyzet a rendszer instabil.
Tétel 6 (Barbashin-Krasousky). Ha egyáltalán van egy végtelenül nagy pozitív-meghatározott funkciója, hogy annak deriváltja időben mentén pályái a rendszer (4) negatív félig határozott funkció, de eltűnik egy sor, amely nem tartalmaz egész pályák (kivéve a egyensúlyi helyzet) a rendszer (4) az egyensúlyi helyzet a rendszer (4) aszimptotikusan stabil, mint egy egész.
Pozitív definit függvény. megfelel egy tétel a stabilitását, illetve instabilitását kapcsolatban egy olyan rendszer, úgynevezett Ljapunov funkció a rendszer. Megjegyezzük továbbá, hogy ha a Ljapunov függvény kielégíti bizonyos stabilitást tétel nem az egész teret, de csak egy bizonyos területen, beleértve a egyensúlyi helyzet, ez a régió a régió vonzerejét a megfelelő egyensúlyi helyzet.
Íme néhány példa a kutatási stabilitását mozgás nemlineáris rendszerek módszerével Ljapunov függvények.