A additív csoportot a területen - egy csoport alatt túlmenően, a multiplikatív csoportjában a területen - egy csoport alatt szorzás,
Mint minden gyűrű, a mező egy csoport alatt a működését mellett. Minden eleme a mező nem egyenlő nullával, csoportot alkotnak alatt működését szorzás. Valójában, ha a ≠ 0 és b ≠ 0, akkor az egyenlet ax = b van egy megoldás q ≠ 0, t. Hogy. A · 0 = 0 ≠ b (lásd. 1. Tétel). Ezért megszorozzuk tulajdonságok IV, V (cm. 1 definíció) és a VII bizonyítják az állítást. Csoport képest hozzáadásával minden eleme a területen az úgynevezett additív. és egy csoport alatt szorzata összes elem nem nulla - a multiplikatív csoportjában a területen. A mező teljesen meghatározva megadásával két ilyen csoport, a feladat a munkálatok nulla minden elem és követelmény elosztó törvény minden elemében, beleértve a nullát. Ebből az következik, hogy a termék minden nulla elemet nulla (lásd. 1. Tétel).
A tulajdonságait a multiplikatív csoport (lásd. 1. tétel) azt jelenti, hogy van egy egység a területen, azaz. E. Az ilyen e elem. , hogy az ae = EA = egy minden a P. Sőt, egy ≠ 0 következik a tulajdonságait az identitás, és a = 0 - tulajdonságai miatt nulla, amikor megszorozzuk. Továbbá, bármely a ≠ 0, van egy inverz -1 olyan, hogy az AA -1 = a -1 A = E. Ebben az egységben, és az inverz e -1 egy adott egyedülállóan meghatározott.
. Ha van egy egység a gyűrű csak egy, hogy az, hogy ha E1 és E2 -. Egy, majd e1 = E1E2 = e2. . Ha egy elem egy gyűrű egységnek van egy inverz elem, csak egy, vagyis, ha a és b c -. Inverzet. majd b = BAC = c.
De a gyűrű az egység nem lehet a kölcsönös elemek, mint például, a gyűrű egész számok. Vannak még nincs gyűrű egységek, például, páros szám gyűrű vagy egész számok, több száma n> 1.
Ha van egy egység R gyűrű e ≠ 0 bármely a ≠ 0, van egy inverz egy -1. ekkor az elemek a gyűrű, nem nulla, alkotnak multiplikatív csoport (ok), és így, R jelentése egy gyűrű mezőt.
Mivel a multiplikatív csoport kommutatív, akkor a visszafelé szorzás művelet - osztás. Amikor ez a hányados egyértelműen meghatározott bármely olyan. nem egyenlő nullával, és minden egyes b. A b ≠ 0 következik a tulajdonságok a multiplikatív csoport mezők (csoport) és b = 0, van, mint egy · 0 = 0. A további követelménye a ≠ 0, Az ingatlanok VII, megtöri a szimmetria tulajdonságai terén összeadás és szorzás. Elutasítja ezt a keresletet, és ezáltal helyreállítani ezt a szimmetria azonban lehetetlen. Tény, hogy a egyenlete ax = b a a = 0 és b ≠ 0 nincs megoldások terén, vagy akár a gyűrűben tartalmazó elemek más mint nulla. Valójában, ha q - az oldat ennek az egyenletnek, akkor aq = 0 · q = 0 = b. ez nem lehetséges. Ezért nullával osztani lehetetlen, ha az osztalék nem nulla. Self bármilyen eszköz lehet a gyűrű, mivel van, bármely q 0 ≠ q = 0.