A tulajdonságait a mátrix társított rang
- A rang nem változik, ha a sorok (oszlopok) alkalmazni elemi transzformációk.
- Rank lépcsős mátrix megegyezik a számát a nem nulla sorok.
Kiszámításához használt módszerek rangot egy mátrix
Módszer elemi transzformációk
A tulajdonságok használatával, a mátrixhoz kapcsolódó annak rang, rang kapott számítási módszer leggyakrabban használt a gyakorlatban.
Rank száma nem nulla mátrix sorok után hozza a mátrix Echelon formában, elemi transzformáció a sorok és oszlopok a mátrix.
Határos eljárás kiskorúak
A rangsorban a mátrix legmagasabb rendű nulla kisebb.
Ha az A mátrix találtuk nemnulla kisebb K-edrendű M. Tekintsük valamennyi kiskorú (k + 1) -edik érdekében, beleértve a (szegélyező) Minor M; ha ezek mind nullával egyenlő, akkor a rang k-val egyenlő. Ha nem nulla, akkor az egész eljárást meg kell ismételni között határos kiskorúakat.
Számítsuk ki a Rank A mátrix, azzal jellemezve,
Ismerete mátrix rang növeli a rangsorban =)
A mai leckében bemutatjuk a fogalom algebrai rangot a mátrixban. megtanulják megtalálni a rangot a mátrix módszer szegélyeket kiskorúak és Gauss módszer. és megvizsgálja fontos témák gyakorlati alkalmazása: A tanulmány a lineáris egyenletrendszer az együttes.
Mi a rangja a mátrix?
A mottó humoros cikket tartalmaz sok igazság. mi a „status” rendszerint együtt jár egy bizonyos hierarchia, leggyakrabban a soraiban. Minél több ember a tudás, a tapasztalat, készségek, cronyism stb - minél magasabb a helyzetét, és számos funkciót. Ahhoz, hogy ez a fiatalok, a rangsorban az általános jelenti fokú „meredekségű”.
És testvéreink matematikai élő ugyanazon elveket. Mi ebből egy séta kissé önkényes nulla mátrixok:
Gondoljunk bele, ha minden nullák a mátrixban. akkor milyen rang lehet beszédet? Mindenki tudja, hogy az informális kifejezés „teljes nulla.” A mátrixok társadalom minden ugyanúgy:
Ligában nulla matritsylyubyh mérete nulla.
Megjegyzés: A nulla mátrix jelöli a görög betű „theta”
Annak érdekében, hogy jobban megértsék a rangot ide, és továbbra is, hogy támogatást kellékek analitikus geometria. Tekintsük a nulla vektor a három dimenziós térben, amely nem kér egy bizonyos irányba, és használhatatlan épület affin alapján. Tól egy algebrai szempontból, a koordinátáit a vektor tárolt mátrix „egyike a három” és logikai (a geometriai értelemben) feltételezik, hogy a rangot ennek a mátrixnak nulla.
Most nézzük meg néhány nenulevyhvektorov az oszlop és sor vektorok:
Minden esetben szükség van legalább egy nulla elemet, és ez valami!
Rank bármilyen nem zéró sorvektor (oszlopvektor) egyenlő egység
És általában - ha matritseproizvolnyh méretei legalább egy nem nulla elemet, akkor rangne kevesebb, mint egy.
Algebrai sorvektorait és oszlop vektorok egy bizonyos mértékig elvont, azonban ismét utalva a geometriai egyesület. Nem nulla vektort állít elég határozott iránya a térben, és alkalmas a postroeniyabazisa. úgy, hogy a rang a mátrix úgy vesszük, hogy az egységet.
Elméleti Háttér: lineáris algebra vektor - egy elem a vektor tér (által meghatározott axiómák 8), amely különösen lehet egy rendezett sorban (vagy oszlopban) érvényes rájuk Chisels egyes műveleteket slozheniyai szorzás egy valós szám. További információk a vektorok megtalálható stateLineynye konverzió.
Tekintsük a mátrixban. ahol a sorok lineárisan függ (kifejezve egymással). A geometriai szempontból a második sor kollineáris vektor koordináták rögzítésre. amely semmiképpen sem fejlett az ügyet postroeniitrohmernogo alapon. Ez ebben az értelemben felesleges. Így a rangot ez a mátrix is egyenlő eggyel.
Átírása a koordinátáit a vektorok oszlopokban (transzponált mátrixszal):
Mi változott szempontjából rangot? Semmi baj. Az oszlopok arányos, akkor a rang egyenlő eggyel. By the way, vegye figyelembe, hogy mind a három vonal is arányos. Azonosítani tudják a koordinátáit három kollineáris vektor a sík egyik kotoryhtolko hasznos épület egy „sima” alapon. Ez teljes mértékben összhangban van a geometriai értelemben rangot.
A fenti példában a következő fontos eredmény:
Rang sorokra egyenlő rangra a mátrix oszlopai. Ez az, amit már említettem, egy kicsit osztályban hatékony számítási módszerek meghatározó.
Megjegyzés: a lineáris összefüggés a vonalak legyen lineáris függését az oszlopok (vagy fordítva). De ahhoz, hogy időt takaríthat meg, és megszokásból én szinte mindig fogunk beszélni a lineáris összefüggés a vonalak.
Mi továbbra is a vonat a mi szeretett kisállat. Add a harmadik sorban, hogy a mátrix koordináta még egy egyenesre vektorok:
ha ő segített felépíteni egy háromdimenziós alapon? Természetesen nem. Mind a három vektor séta oda-vissza ugyanazon a pályán, és a rangot a mátrix egyenlő eggyel. Tudod venni bármennyi kollineáris vektor, mondjuk, 100, módjuk koordinátákat a mátrix „háromszáz”, és a rangot a felhőkarcoló továbbra is egységes.
Megismerkedhetnek a mátrixban. ahol a sorok lineárisan függetlenek. Egy pár nemkollineáris vektorok építésére alkalmas háromdimenziós alapon. A rangsorban a ez a mátrix egyenlő kettő.
És mi van a rangsorban a mátrixban. Vonalak, mint ... nem arányos, tehát elméletileg három. Azonban, a rangot ez a mátrix is egyenlő kettő. Azt hajtva az első két sor, és azt írta alján az eredményt, hogy lineárisan kifejezésre a harmadik sorban az első kettő. Geometriailag a mátrix sorok felelnek meg a koordinátáit három síkban vektorok. Sőt, van egy pár nemkollineáris elvtársak között a trió.
Mint látható, a lineáris összefüggés a vizsgált mátrix nem egyértelmű, és ma már csak tanulni, hogy vonja vissza a „tiszta víz”.
Azt hiszem, sokan észre, mi a rangot!
Tekintsük a mátrixban. ahol a sorok lineárisan függetlenek. Affinity vektorok alapját alkotják. és a rangot ez a mátrix egyenlő három.
Mint tudod, minden negyedik, ötödik, tizedik vektor háromdimenziós tér lineárisan kifejezve alap vektorok. Ezért, ha a mátrix tetszőleges számú sorok, a rangsorban továbbra is egyenlő három.
Hasonló érveket lehet nagy méretű mátrixok (természetesen anélkül, hogy a geometriai jelentése).
Definíció. A rang - a maximális számú lineárisan független sorok. Vagy a rangsorban - a maximális számú lineárisan független oszlopok. Igen, ez a szám mindig ugyanaz.
A fentiekből is fontos gyakorlati útmutatást: a rang nem haladja meg a minimális méret. Például, egy mátrixban négy sorban és öt oszlopban. A minimális mérettől - négy így a rangot a mátrix nem ismert, hogy felülmúlják 4.
Megnevezések. A világ az elmélet és a gyakorlat, nincs általánosan elfogadott szabvány, hogy jelezze a rangsorban a mátrix, megtalálható a leggyakrabban - mint mondják, egy angol írta egy német a másik. Ezért aztán egy-egy híres anekdotát az amerikai és az orosz pokol jelöli rang az anyanyelv. Például :. És ha a mátrix „névtelen”, amelyből fordulnak elő nagyon sok, akkor csak írni.