Az egyenlet matematikai inga - studopediya
Az egyenlet a matematikai inga mozgását
Ez most lehetetlen ellenőrizni a legenda, hogy hogyan Galileo állt ima a székesegyházban, néztem figyelmesen gördülő bronz csillár. Megfigyeltem, és a töltött idő a csillár előre-hátra mozgását. Ez idő alatt, akkor az úgynevezett rezgési periódus. Óra Galileo nem volt, és összehasonlítani a rezgési periódus csillárok felfüggesztett láncok különböző hosszúságú, ő használt impulzus lebegési frekvencia.
A kalapácsok használata beállítására az óra, mivel bármilyen inga teljesen határozott időre oszcilláció. Az inga is egy fontos alkalmazás geológiai kutatás. Köztudott, hogy az értékek g eltérőek a különböző részein a világon. Ezek különböző, mert a Föld - nem egészen pontos a labdát. Ezen túlmenően azokon a helyeken, ahol fekszenek a kőzetekből, például egyes ércek, g érték kórosan magas. Pontos méréseket g útján matematikai inga néha képes érzékelni az ilyen betétek.
Az egyenlet a matematikai inga mozgását
Matematikai inga úgynevezett nehéz tömeg pont mentén mozog egy függőleges vagy kerületi (lapos matematikai inga) vagy gömb (gömb alakú inga). Az első közelítésben egy matematikai inga lehet tekinteni egy kis méretű teherszállító felfüggesztve egy rugalmas, nem-szakaszon fonal.
Tekintsük a matematikai inga mozgását síkja L sugár kör közepén a pont O (ábra. 1). Mi meg fogja határozni az pont helyzete M (az inga) eltérés szögét j OM sugara a függőleges. Irányítása az érintő M t a pozitív referencia szög j, alkotják a természetes mozgás egyenletet. Ez az egyenlet van kialakítva mozgásegyenletek
mW = F + N. (1)
ahol F - ható pontja egy aktív erő, és N - kommunikációs választ.
(1) egyenlet beszálltunk Newton második törvénye, amely az alapvető jog a dinamika, és azt mondja, hogy az idő származéka a lendület egy anyagi pont jár neki erőt, azaz a. E.
Figyelembe véve a tömeg állandó, akkor elképzelhető az előző egyenlet formájában
ahol W a gyorsító pont.
Így, (1) egyenlet egy vetülete a tengelyen t nekünk egyik természetes egyenletek a mozgás egy adott fix pont sima görbe:
A mi esetünkben, megkapjuk a vetítés a t tengely
,
ahol m a tömeg az inga.
Mivel sem. így találunk
.
Elosztjuk m és feltételezve,
. (3)
végre van:
. (4)
Tekintsük először a kis rezgések. Hagyja, hogy a kezdeti inga eltért a függőleges szögben j és csökkentette anélkül kezdeti sebességet. Ezután a kezdeti feltételek:
t = 0. (5)
Az energia integrál:
. (6)
ahol V - a potenciális energia, és h - állandó integráció azt jelenti, hogy ilyen körülmények között bármikor jЈj0 szöget. A konstans h határozza meg a kezdeti adatok. Tegyük fel, hogy a szög kicsi j0 (J0 £ 1); j, akkor a szög is kicsi, és lehet kb fel sinji »j. A (4) egyenlet formájában
. (7)
(7) egyenlet egy differenciálegyenlet egy egyszerű harmonikus rezgés. Az általános megoldás ennek egyenlet formájában
. (8)
ahol A és B, vagy A és E jelentése állandók az integráció.
Ez azonnal megtalálja az időszak (T) a kis rezgések a matematikai inga (időszak - az az időszak, amely alatt a pont vissza a korábbi helyzetébe azonos sebességgel)
,
mert bűnnek időtartamával megegyező 2p, akkor m = 2p Yu
Ahhoz, hogy megtalálja a mozgás joga a kezdeti feltételeket (5), kiszámítjuk:
. (10)
Behelyettesítve a értékei (5) be egyenletek (8) és (10), kapjuk:
azaz B = 0. Ezért a törvény a mozgás a kis rezgések feltételek mellett (5) a következő lesz:
J = J0 cos tömeg. (11)
Most megtalálni a pontos probléma megoldása a sík matematikai inga. Mi először meghatározza az első integrál mozgás (4) egyenlet. mert
,
majd (4) felírható
.
Ennélfogva, megszorozzuk mindkét oldalán az egyenlet által d j és integrálása, kapjuk:
. (12)
Jelöljük keresztül itt j0 maximális inga szöge eltérést; majd amikor J = J0 van. ahol a C = w 2 cosj0. Ennek eredményeként az integrál (12) adja:
. (13)
ahol W jelentése a (3) egyenlet.
Ez szerves képviseli az energia integrál, és közvetlenül ki lehet nyerni az egyenletből
. (14)
ahol - a munka halad M0M aktív erő F. figyelembe véve, hogy ebben az esetben a v0 = 0, (lásd az ábrát ..).
Tól (13) egyenlet azt mutatja, hogy amikor az inga mozgást változik a szög j közötti értékek + j0 és -j0 (| j |. Јj0 óta), azaz az inga egy oszcilláló mozgás. Egyetértünk abban, hogy számít az idő, t az idő áthaladás OA függőleges inga, ha jobbra mozog (lásd. Ábra.). Aztán ott van az eredeti állapot:
Továbbá, ha a mozgó pont lesz; rajz mindkét oldalán (13) négyzetgyöke, megkapjuk:
.
A megosztás a változók, van:
.
Behelyettesítve ezt az eredményt az egyenlet (16), kapjuk:
Hogy integrálja (17) egyenletben, szükség van tér a bal oldalán. Ehhez menjünk tovább j az új változók egy feltételezve:
.
Behelyettesítve ezeket az értékeket a (17) egyenletben és a változó értéke w (3), kapjuk:
Az elfogadott kezdeti feltételek (15) a t = 0, a szög J = 0, és ennélfogva amint az (18), és a = 0. Ezután, figyelembe mindkét oldalról az egyenlet (19) jobbra határozott integrálok 0 és t. és a bal oldalon 0-tól egy, megkapjuk a törvény a mozgás az inga formájában
Az integrál a bal oldalon a (20) egyenletben egy elliptikus integrálja az első fajta. A k értékét nevezzük a modulusa az elliptikus integrálok. Ez integrál függvényében a felső határ és a modul, azaz a
. (21)
Ha a (21) egyenlet úgy, mint a felső határ az integrál egy funkciója u. ilyen funkció az úgynevezett amplitúdóját u, és a következőképpen jelöljük:
Figyelembe mindkét oldalán (22) szinusz, ezt kapjuk:
SNU funkció (sine amplitúdó u) egy úgynevezett Jacobi elliptikus függvények. Mivel, egyenlet szerinti (20). Ezután, átadva a (23) egyenletben a a j a képlet (18), azt találjuk, a törvény a mozgás az inga kifejezett elliptikus funkciót sn, mint