Fourier integrál

Tegyük fel, hogy az f (x) minden intervallum [-l, l], ahol L - tetszőleges számú szakaszonként - sima vagy szakaszonként - monoton túlmenően, f (x) - teljesen integrálható függvény, azaz konvergens helytelen szerves

Ezután az f (x) bővíthető egy Fourier-sor:

Behelyettesítve az együtthatókat a képlet f (x), kapjuk:

Hagyta L® ¥. Azt bizonyítja, hogy

Amikor L® ¥ Dun ®0.

Azt bizonyítja, hogy a határ az összeg a jobb oldali az integrál

Aztán - kettős Fourier integrál.

- ábrázolása az f (x) a Fourier integrál.

1. Ha az f (x) - páros, akkor a képlet válik Fourier;

Ha az f (x) - páratlan, akkor a Fourier képletű válik.

2. Ha az f (x) van meghatározva csak az intervallum. meg lehet hosszabbítani, hogy lefedjék a különböző módon, különösen - a páros és páratlan módon.

3. Fourier Formula lehet kiegyensúlyozottan írásmódú, ha tesz, hogy. Abban az esetben, egy páros függvény :; abban az esetben, furcsa funkciókat.

Funkciók nevezzük rendre a koszinusz transzformáció és a Fourier transzformáltja szinusz függvény f (x).

4. Dupla Fourier szerves függvény f (x) lehet jelen, komplex formában:

Definíció. Ha f (x) - bármely teljesen integrálható a teljes tengely folytonos függvény, vagy amelyek véges számú pontot diszkontinuitás az első fajta minden intervallum, akkor a függvény

nevezett Fourier transzformáltja az f (x).

F (u) függvény is nevezik a spektrális válasz függvény f (x).

Ha f (x) - a függvény, amely leírható Fourier integrál, akkor tudjuk írni:

Ez az egyenlet az úgynevezett inverz Fourier-transzformáció

Példa. Mutassa be a Fourier integrál függvény.

Ez megfelel a feltételeknek képviselhetoségének Fourier integrál, teljesen integrálható az intervallumon. . Páratlan funkció veszi a képlet :. Következésképpen ,.