Viii osztály témakör számok
VIII fokozat: A téma 3. területek számok. Pitagorasz-tétel.
1. A tér fogalmát. Egyenértékű számok.
Ha a hossza - egy jellemző számérték vonal, a területen - egy jellemző számérték egy zárt alak. Annak ellenére, hogy a fogalom a területen ismerjük a mindennapi életben, a szigorú e fogalom meghatározását nem könnyű adni. Kiderült, hogy a terület egy zárt alak lehet említeni bármely nem negatív értéket, amely a következő tulajdonságokkal terület mérési adatok:
Egyenlő számok területe egyenlő.
Ha ebben a zárt alakja osztva több zárt számok, a terület a szám a négyzetösszege alkotóelemeinek (az ábrán az 1. ábrán van osztva n darab, amely esetben a számok a területen, ahol a Si - i-edik területen formák).
Elvileg lehetne gondolni sok változó, hogy megfogalmazott tulajdonságok, ami azt jelenti, hogy a területet jellemzik az ábra. De a leginkább ismerős és kényelmes olyan mennyiség, ami jellemzi a területet a tér négyzetével oldalára. Ezt hívjuk „megállapodás” harmadik tér mérése tulajdonságait alakja:
A terület a négyzet egyenlő a négyzet az oldalán (2. ábra).
Ezzel a definíció számadatok területének mérése szögletes egységekben (lásd a 2. 2. km n = 100m 2).
Ábrákon. amelynek területe egyenlő, az úgynevezett egyenlő.
W
MEGJEGYZÉS: Egyenlő számok is ugyanazokat a területen, amely egyenlő az ábra megegyezik a területen. Azonban, az egyenlő alakja nem mindig egyenlő (azaz például, a 3. ábra egy négyzet alakú, és egy egyenlő szárú háromszög álló egyenlő derékszögű háromszögek (mellesleg, mint a számok említett equidecomposable); értetődik, hogy négyzet és a háromszög egyenlő területű, de nem azonos, mivel nem igazodik overlay) .
Következő, mi származik a képletet a területeken minden sokszög főbb fajokra (beleértve az összes ismert formula megtalálását téglalap terület), tulajdonságai alapján a megfogalmazott terület mérési adatok.
2. A téglalap területe. A terület egy paralelogramma.
A képlet a területet egy téglalap: A terület a termék a két szomszédos oldala (lásd a 4. ábrát).
adott:
Hosszabbítsa az AB oldalt, és egy szegmens BP = a. és oldalsó AD - vágni DV = b. Construct paralelogramma APRV (4. ábra). Mivel A = 90, APRV - egy téglalap. Így AP = a + b = AV. APRV - oldalú négyzet (a + b).
Jelöljük BC RV = T. CD PR = Q. Ezután BCQP - tér oldalán a. CDVT - tér oldalán b. CQRT - egy téglalapot oldala a és b.
.
A képlet a terület egy paralelogramma: Terület egy paralelogramma egyenlő a termék a magassága a bázis (lásd 5. ábra).
Megjegyzés: Az alapot a paralelogramma nevezik az irányt, ahol a magasság végzik; ez úgy értendő, hogy a bázis szolgálhat mindkét oldalán a paralelogramma.
Döntetlen a bázis AD magassága CF (5. ábra).
BC HF. BH CF. BCFH - n / r definíció szerint. H = 90, BCFH - egy téglalap.
BCFH - n / g, tulajdonát p / r BH = CF. BAH = CDF befogó és a átfogója (AB = CD-kommunikációs száma N / g, BH = CF).
SABCD = SABCF + SCDF = SABCF + SBAH = SBCFH = BH BC = BH AD.
3. A háromszög területe.
A képlet a háromszög területe: háromszög területe fele a termék a magassága a bázis (6. ábra).
Megjegyzés: A háromszög alapja, ebben az esetben nevezzük az oldalon, amely a magasság végezzük. A három oldalán a háromszög a bázisát.
Befejezés ABC n / r ABKC vezetéken keresztül a B csúcs BK AC. és C tetején keresztül - egyenes CK AB (6. ábra).
ABC = KCB három oldalról (BC - összesen, AB = KC és AC = KB kommunikáció-száma n / r), .
Corollárium 1 (a képlet a területen a derékszögű háromszög): Mivel az N / y ke egyik a lábak magas, tartott, hogy a második befogó, terület n / a -ka késleltetés fele a termék a másik két oldal (7. ábra).
Corollárium 2: Ha figyelembe vesszük az n / a ABC AH magassága. felhívjuk az átfogó BC. akkor. Így, n / u-KE magasság, hívni a átfogója egyenlő a termék a másik két oldal tekintetében a átfogója. Ez az arány gyakran használják a problémák megoldása érdekében.
4. Hatás a képlet megtalálása a háromszög területe: a területének aránya a háromszögek azonos magasságú, vagy bázisok; egyenlő háromszögek az ábrákon; tulajdonát területeken a háromszögek által alkotott átlói konvex négyszög.
A képlet a háromszög területe elemi módon két következménye van:
A területének aránya a háromszögek egyenlő magasságú arány egyenlő a saját bázisok (8. ábra).
Oh
elations területek háromszögek azonos bázisok egyenlő az arány a magasságuk (a 9. ábrán).
Megjegyzés: nagyon gyakori háromszögek teljes magassága Amikor problémák megoldásához. Így, mint egy szabály, hogy bázisok fekszenek egy egyenes vonal, és egy csúcs szemben a bázisok - teljes (például a 10. ábra S1: S2: S3 = a: b: c). Meg kell tanulni látni a teljes magassága a háromszög.
Továbbá, a képlet a háromszög területe hasznos tények merülnek fel, amelyek lehetővé teszik megállapítás egyenlő háromszögek a számok:
M
ediana tetszőleges háromszög felosztja két egyenlő méretű háromszög (látható 11 és ABM ACM magassága AH - teljes, és a BM és CM bázist, hogy meghatározzuk a medián egyenlő, ebből következik, hogy ABM és ACM egyenlő terület).
A átlók a paralelogramma van osztva négy egyenlő méretű háromszög (12. ábra AO - medián ABD háromszög által tulajdonság átlók H / Y, által az előző kommunikációs szigetek háromszögek ABO és ADO egyenlő területű ;. mint Bo - medián ABC háromszög, a háromszög ABO BCO egyenlő területű, mivel a CO - medián háromszög BCD háromszögek BCO és DCO egyenlő területű ;. így, SADO = SABO = SBCO = SDCO).
D
iagonali trapéz van osztva négy háromszög; közülük kettő, szomszédos oldala egyenlő terület (13. ábra).
adott: bizonyíték:
Döntetlen magassága BF és CH (13. ábra). Ezután ABD és ACD bázis AD - általános, és a magassága BF és CH egyenlő; SABD = SACD.
SABO = SABDSAOD = SACDSAOD = SDCO.
Ha felhívni átlós konvex négyszög (14. ábra), által alkotott négy háromszög, négyzet van csatlakoztatva nagyon egyszerű megjegyezni a kapcsolatot. A levezetés e kapcsolat alapja kizárólag a képlet a háromszög területe; azonban az irodalomban ez elég ritka. Mivel hasznos problémák megoldásában, az arány, ami kell tüntetni, és bebizonyította alábbiakban érdemel kiemelt figyelmet:
Tulajdonság területeken a háromszögek által alkotott átlói konvex négyszög: Ha az átlós ABCD konvex négyszög metszik O. majd (14. ábra).
ABCD - konvex négyszög alakú;
5. Az arány a következő területeken: a háromszögek egyenlő sarokban.
Tétel a terület aránya a háromszögek egyenlő szög: téren háromszögek egyenlő sarokban, mint munkái felek kössenek ezek a szögek (15. ábra).
6. Az ingatlan háromszög felezővonal.
Az elmélet a kapcsolat a területek a háromszögek egyenlő sarokban, és a kapcsolat a területek háromszög egyenlő magasságban, csak nagyon hasznosnak bizonyult a problémák megoldásában a tényt, amelynek nincs közvetlen kapcsolatban a terület az ábrán:
Az ingatlan felezővonal háromszög: háromszög felezővonal osztja az oldalon, amelyre időközökkel elvégezve arányos a környező végén felek.
A K - felezővonal ABC.
bizonyíték:
A tétel kapcsolatának háromszögek egyenlő sarokban.
mert AH - a teljes magassága a háromszögek ABK és ACK. .
Az 1. és 2. bekezdés, megkapjuk :, , .
Megjegyzés: Mivel a megfelelő arányok felcserélhető szélsőséges és a középső kifejezések, a szögfelezői a háromszög tulajdonság kényelmesen tárolható a következő (16. ábra).
7. A terület trapéz.
A képlet a terület a trapéz: A területet a trapéz egyenlő a termék a magassága, hogy a fele az összeget a bázisok.
Hatás: A területének aránya trapézok azonos magasságú egyenlő aránya az átlagos vonalak (vagy relatív mennyiségű bázis).
8. A négyszög területe az egymásra merőleges átló.
A képlet a terület egy négyszög kölcsönösen merőleges átlók: Terület négyszög egymásra merőleges átlók felével egyenlő a termék az átlók.
Hagyja AC BD = O. Mivel AC BD. AO - magasság ABD. és a CO - magassága CBD (ábrák 18a és 18b a esetek konvex és a nem-konvex négyszögek, sorrendben).
( „+” Jelek vagy „-” megfelelnek az esetek konvex és a nem-konvex négyszög, sorrendben).
9. A közvetlen és inverz tétel Pitagorasz.
Pitagorasz-tétel döntő szerepe lehet a különböző feladatok; ez lehetővé teszi számunkra, hogy megtalálja ismeretlen oldalán egy derékszögű háromszög két oldalán a híres. Sok bizonyíték a Pitagorasz-tétel. Itt a legegyszerűbb ezek alapján a képlet a terület a négyzet és a háromszög:
Pitagorasz-tétel: Egy derékszögű háromszög, a tér a átfogója egyenlő a négyzetének összege a másik két oldala.
mert BC = QB = TQ = CT. CBQT - gyémánt. Így QBC = 180- (ABC + PBQ) = 180- (ABC + ACB) = BAC = 90; CBQT - tér és SCBQT = BC 2.
. Így, BC 2 = AB 2 + AC 2.
Kapcsolat a Pitagorasz-tétel annak a jele, a derékszögű háromszög, azaz Ez lehetővé teszi, hogy a három oldalán a háromszög ismert ellenőrizheti, hogy négyszög alakú.
Kapcsolat Pitagorasz tétel: Ha a négyzet oldala a háromszög egyenlő az négyzetének összege a másik két oldal, akkor a háromszög derékszögű, és a nagyobb oldalon a átfogója.
Derékszögű háromszög, a hossza, amelynek oldalai vannak kifejezve természetes számok, az úgynevezett Pitagorasz háromszögek. megháromszorozza megfelelő természetes szám - pithagoraszi tripletek. Pitagorasz-háromágyas hasznos megjegyezni (a nagyobb ezen számok összegével egyenlő a két négyzet a többi). Íme néhány a Pitagorasz háromágyas:
Derékszögű háromszög oldala 3, 4, 5, használt Egyiptom építésére derékszögben kapcsolatban az úgynevezett háromszög egyiptomi.
10. Heron-képlet.
Heron-képlet lehetővé teszi számunkra, hogy megtalálja egy tetszőleges háromszög területe három a híres fél elengedhetetlen megoldásában sok problémát.
Heron-képlet: Area egy oldalú háromszög. b és c értékét a következő képlettel: ahol semiperimeter háromszög.
Let B - a legnagyobb a háromszög szögeinek ABC (21. ábra), majd A C - akut, és BH jelentése a magassága a bázis oldalán AC (és nem annak folytatása).
Jelöljük BH = h. AH = x. Ezután CH = b-x. A Pitagorasz-tétel a Cove -ABH és CBH kapjuk: BH 2 = AB 2 -AH 2 = BC 2-CH 2.
2. bekezdés kap :,
. Behelyettesítve ezt a kifejezést az x a képletet a magassága h, és végezze Konverzió:
(Feltételezzük, hogy itt ABC kerülete kétszer semiperimeter :). Aztán.
Behelyettesítve ezt a kifejezést a magassága a képlet a háromszög területe :.
Viii osztály: Tárgy területe az ábra. Pitagorasz-tétel. A tér fogalmát. egyenértékű adatok