Tünet d Alamber
Mielőtt elkezdené a témával azt tanácsolom, hogy keresse meg a szakasz a terminológia számsorozatok. Különösen figyelni, hogy a koncepció az általános kifejezés a sorozat. Ha kétségei vannak a választás a konvergencia kritérium, azt tanácsolom, hogy nézd téma kiválasztása „konvergencia kritérium számsorozatok”.
D'Alembert jel (vagy d'Alembert-féle vizsgálat) használnak, hogy tanulmányozza a konvergencia-sorozat, amelynek általános kifejezés szigorúan nagyobb, mint nulla, azaz $ U_n> 0 $. Ilyen sorozat nevezzük szigorúan pozitív. A referencia példák D'Alembert használt megjelölés formájában limit.
Hányados teszt (formájában határ)
Ha a sorozat $ \ sum \ limits_ ^ u_n $ szigorúan pozitív és $$ \ lim_ \ frac> = L, akkor a $$ $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (és $ L = \ infty $) sorozat divergens.
A megfogalmazás nagyon egyszerű, de nyitva hagyta a kérdést: mi történne, ha $ L = 1 $? Válasz erre a kérdésre arány vizsgálat nem képes adni. Ha a $ L = 1 $, akkor a sorozat mind konvergálnak, és elválik.
Leggyakrabban az összehasonlító példákban aránya vizsgálatot is alkalmaztunk, ha az összes tag jelen kifejezések polinomiális $ N $ (polinom lehet egy gyökér), és a mértéke a formában $ a ^ n $ vagy $ n! $. Például, $ u_n = \ frac $ (lásd. Példa №1) vagy $ u_n = \ frac> $ (lásd. Példa №2). Általában például a jelenléte a szokásos $ n $ -! Van egyfajta „hívókártya” arány vizsgálata.
Record "n!" (Read „en faktoriális”) képviseli a terméket az összes egész számok 1-től n, azaz
$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$
A definíció szerint azt feltételezzük, hogy a $ 0! = 1! = 1 $. 5. példa találni.
5 $$! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$
Ezen túlmenően, az arány teszt gyakran használják, hogy meghatározzák a konvergencia a sorozat, amelynek általános kifejezés tartalmazza a terméket, ezt a struktúrát: $ u_n = \ frac $.
Mivel az alsó határ összegzés 1, az általános kifejezés az összeg rögzített jel alatt: $ u_n = \ frac $. Mivel a $ n≥ 1 mi $ 7 $ 3n +> $ 0, $ 5 ^ n> 0 $ és $ 2n ^ 3-1> $ 0, akkor a $ u_n> 0 $. Ezért a száma szigorúan pozitív.
Teljesítését ellenőrizni a szükséges feltételeket a konvergencia kissé nehéz, ezért átugorja ezt a tesztet.
Mit mondhatunk az általános kifejezés a sorozat? Ez tartalmazza polinomok $ 3n + $ 7, $ 2n ^ 3-1 $, és $ 5 fokos ^ n $. Ez közvetlenül adódik a használata arány vizsgálata.
Ahhoz, hogy használni ezt a funkciót, akkor meg kell találni a határ az arány $ \ frac> $. A teljes távon a sorozat van, hogy: $ u_n = \ frac $. A képlet a $ $ u_ írunk külön-külön. Rögzíteni $ u_n $, akkor kell egy formula $ u_n = \ frac $ helyett $ n $ helyettesíteni az $ n + 1 $:
Kívánt esetben, a nevező írhatók nélkül zárójelben, mint $ 2 (n + 1) ^ 3-1 = 2n ^ 3 + 6 N ^ 2 + 6n + $ 1, de ez nem szükséges. Tehát mi azt látjuk, egyenlő az értéke $ \ lim_ \ frac> $. A egyszerűsíti a kapott kifejezés figyelembe vesszük, hogy a $ \ frac> = 5 = 5 ^ 1 = $ 5.
Ahhoz, hogy kiszámítsuk a kapott limit, meg kell osztani a számláló és a nevező által $ n ^ 4 $ (lásd példa №1 ezen az oldalon.)
Őszintén szólva, az arány teszt - nem az egyetlen lehetőség ebben a helyzetben. Használhatja például a gyökér tesztet. Azonban az alkalmazás gyökkritérium ismereteket igényel (vagy bizonyíték) további képleteket. Ezért a hányados teszt ebben a helyzetben sokkal kényelmesebb.
Válasz. sorozat divergens.
Fedezze számos $ \ sum \ határok _ ^ \ frac> $ a konvergencia.
Mivel az alsó határ összegzés 1, az általános kifejezés az összeg rögzített jel alatt: $ u_n = \ frac> $. A megadott szám szigorúan pozitív, azaz a $ U_n> 0 $.
Az általános kifejezés a sorozat tartalmazza a polinom alatt radikális, azaz, $ \ Sqrt $, és a faktoriális $ (3n-2)! $. A jelenléte faktoriálisának standard példa - közel száz százalékos garancia alkalmazásának D'Alembert tulajdonság.
Ahhoz, hogy használni ezt a funkciót, akkor meg kell találni a határ az arány $ \ frac> $. Rögzíteni $ u_ $, akkor kell egy formula $ u_n = \ frac> $ helyett $ n $ helyettesíteni az $ n + 1 $:
! Mivel $ (3n + 1) = (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $, akkor a képlet a $ u_ $ felírható más módon:
Ez a bejegyzés hasznos további döntés, ha van, hogy csökkentsék a frakció a határérték alatt. Ha egyenlőség faktoriális magától értetődő, kérem, hogy hozzák nyilvánosságra az alábbi megjegyzést.
Hogyan jutottunk el az egyenlő $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $? Megjelenítése \ elrejtése
Vedd $ (3n + 1)! $ A termék az összes egész számok 1 $ 3n + 1 $. Ie ez a kifejezés felírható:
Közvetlenül előtte a szám $ 3n + 1 $ a szám, ami eggyel kevesebb, azaz a szám $ 3n + 1-1 = 3n $. És mielőtt a $ 3n $ a szám $ $ 3n-1. Nos, csak a szám előtt $ 3n-1 $ számok $ 3n-1-1 = 3n-2 $. Átírni a képlet a $ (3n + 1) $:
$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$
Mi van a termék az $ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $? Ez a termék egyenlő $ (3n-2)! $. ! Ezért a kifejezést $ (3n + 1) $ lehet ebben a formában íródott:
$$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$
Ez a bejegyzés hasznos további döntés, ha van, hogy csökkentsék a frakció a határérték alatt.
Válasz. A sorozat konvergál.
Fedezze számos $ \ sum \ határok _ ^ \ frac> $ a konvergencia.
Mivel az alsó határ összegzés 1, az általános kifejezés az összeg rögzített jel alatt: $ u_n = \ frac> $. A megadott számú sorozat szigorúan pozitív, vagyis az, $ U_n> 0 $.
A teljes távon a sorozat egyaránt tartalmaz faktoros $ (2n + 5)! $, És a mértéke $ 4 $ ^. Alkalmazza az arány vizsgálatot.
Szükségünk lesz $ u_ $. Behelyettesítve a képletben $ u_n = \ frac> $ helyett $ n $ expressziós $ n + 1 $, van:
Mi az A értékét $ \ lim_ \ frac> $. A csökkentés hadd szem előtt tartani, hogy a $ (2n + 7)! = (2n + 5)! (2n + 6) (2n + 7) $ (cm. Megjegyzés Az előző példában №2) és $ \ frac >> = 4 ^ = 4 ^ = \ frac = \ frac $.
Válasz. sorozat divergens.
Folytatva a témát a tanulmány a konvergencia-sorozat segítségével d'Alembert funkciót, úgy a második és harmadik rész.