irreducibilis polinom
meghatározás
Polinomiális a változók egy mezőt az úgynevezett irreducibilis át, ha ő egy elsődleges eleme a gyűrű, amely nem állandó és nem képviselheti egy termék, és ahol - polinomok együtthatóit eltérő állandók.
A polinom nevezzük abszolút irreducibilis. ha ez irreducibilis felett algebrai lezárását területén együtthatók. Abszolút irreducibilis polinomok egy változó - a polinom foka 1 és csak azokat. Abban az esetben, több változó, egyáltalán nem csökkenthető polinomok önkényesen nagyfokú - például minden polinom formájában
A gyökerek a redukálhatatlan polinomot nevezzük konjugátum.
- Polinom gyűrű faktoriális. minden polinom osztja be a termék irreducibilis polinomok, ezzel bővülés egyértelműen meghatározni akár állandó tényező.
- Az igazi mező bármely irreducibilis polinom foka egy változó értéke 1 vagy 2, azzal a polinom foka 2 irreducibilis akkor és csak akkor, ha ez negatív diszkrimináns.
- Több olyan algebrai szám mezőben létezik előzetesen minden irreducibilis polinom egy adott mértékben; például egy polinom, ahol - egy kiváló, megváltozhatatlan alapján Eisenstein-kritérium.
- Ha - egy véges mező elem, és - egy pozitív egész szám, akkor létezik legalább egy irreducibilis polinom foka n.
- Tegyük fel, - darabban kialakított zárt gyűrű hányadosa mezőben (például u), és - egy polinomiális egyik variábilis a legmagasabb együttható 1, akkor, a van és a legnagyobb együttható 1, akkor.
- Nyomás csökkentése kritérium irreducibilis. Hagyja homomorfizmus integritástartomány. Ha a polinom foka egybeesik a polinom foka irreducibilis fölött a területen, és saját területén, nincs bomlás, amennyiben eltér az állandók.
- Például, a polinomot a legnagyobb egyeztetési együttható egy egyszerű (és így már nem redukálható c) ha az egyszerű polinom együtthatók kapott redukciós modulo egy prímszám.
A következő öt polinomok bemutatunk néhány elemi tulajdonságai nem redukálható polinomok:
, , , , .
A gyűrűre egész számok. Az első két polinom - vezérelt, az utóbbi két - kiküszöbölhetetlen. (A harmadik polinom általában nem több mint az egész számok).
Több mint a racionális számokat. Az első három polinom redukálható, a másik kettő - a kiküszöbölhetetlen.
A mező fölé a valós számok. Az első négy polinomok - vezérelt, hanem irreducibilis. A területen a valós számok irreducibilis polinomok lineáris és négyzetes polinomok nincs igazi gyökereit. Például a bomlás a polinom terén a valós számok adják. Mindkét tényező ebben terjeszkedés irreducibilis polinomok.
Az a komplex számok. mind az öt polinomok - hajtott. Tény, hogy minden nem konstans polinom fenti lehet figyelembe venni a tényezőket a következő formában:
ahol - a polinom foka. - Senior tényező - a gyökerek. Ezért csak a irreducibilis polinomok fenti lineáris polinomok (alap algebra tétel).
véges testek
A egész együtthatós polinomok, amelyek irreducibilis a mező fölé hajtható egy véges mező. Például a polinom irreducibilis fölött, de a területen a két elem, van:
irodalom
- Van der Waerden, BL # 32; algebra. - Mir, 1976 - 648 p.
- S. Lang # 32; algebra. - Mir 1968.
- Zarisskii O. Samuel P. # 32; kommutatív algebra. - M. IL 1963.