Funkcionális (funkcionális norma)
2.5 Kompakt szett
261. A tér R2 egy példa a beállított M
amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: a) M - kompakt;
b) M - viszonylag kompakt;
in) M - viszonylag kompakt, de nem kompakt; g) M - korlátozott, de nem kompakt;
d) M - zárt, de nem kompakt.
262. Annak bizonyítására, hogy a beállított x n (t) = sin nt (n 2 N) korlátozott és zárt térben L 2 [; ]. de nem kompakt.
263. Adj egy példa egy zárt korlátos halmaz egy `2, de nem egy kompakt.
264. Bizonyítsuk be, hogy bármely R zárt korlátos halmaz kompakt.
265. Tekintsünk egy C [0; 1] M. sokféle funkciót képes ellátni
x (t) = kt + b. ahol 0 k; b 1. Legyen „> 0 - önkényes.
Építsd M végső „-net.
266. Bizonyítsuk be, hogy minden precompact állítva `2 sehol sem sűrű in` 2.
267. Bizonyítsuk be, hogy az unió a véges számú precompact van precompact.
268. Bizonyítsuk be, hogy az unió a véges számú kompakt halmazok kompakt.
269. Annak bizonyítására, hogy a kereszteződés minden készlet
2. fejezet A normalizált tér és funkcionális
precompact van precompact.
270. Bizonyítsuk be, hogy a kereszteződés minden sor kompakt terek kompakt.
271. Annak bizonyítására, hogy a készlet M összes folytonos [0; 1]
úgy működik, hogy jx (t) j 1 korlátozott és zárt C [0; 1]
de nem kompakt.
272. Construct egy példa a korlátozott nyílt halmaz a vonalon bevont időközönként úgy, hogy ez a bevonat nem tud kiosztani a végső bevonat.
273. A kompakt tér több `2
274. Legyen M - kompakt halmaz egy Banach-tér
X. Igazoljuk, hogy bármely X x 2 y 2 van, hogy a M.
275. Bizonyítsuk be, hogy a lezárás precompact halmaz kompakt.
276. Bizonyítsuk be, hogy minden részhalmaza kompakt halmaz kompakt.
277. Bizonyítsuk be, hogy egy véges dimenziós normált tér, minden korlátos halmaz precompact.
278. Legyen M - egyenletesen korlátos a funkciók
tér C [a; b]. Bizonyítsuk be, hogy a funkciók halmaza N
2.5. kompakt halmazok
ahol x (t) 2 M. precompact.
279. Hogy egy példát készlet folyamatosan differenciálható [0,1] funkciók precompact a térben C [0; 1]. de nem a térben precompact C 1 [0; 1].
A feladatok 280-286 precompact megállapítását, hogy egy előre meghatározott funkciókat C [0; 1]:
280. x n (t) = t n; n 2 N.
281. x n (t) = sin NT; n 2 N.
282. x n (t) = sin (t + n); n 2 N.
285. X (t) = arctg t; 2. R.
286. X (t) = e t; 2 R; 0.
287. Annak bizonyítására, hogy a készlet M elemek x = (x 1; x 2 ,.) A térben c 0 vagy c precompact akkor és csak akkor, ha
ez korlátos, és lim x n létezik egyenletesen tekintetében
azaz, X 2 M. minden "> 0, akkor N = N ("). , hogy minden n> N minden x = (x 1; x 2 ,.) 2 M egyenlőtlenség
jx n lim x n j <":
288. Igazoljuk, hogy a készlet elemeit M
X = (x 1; x 2 ,.) 2 `p (p 1) akkor és csak akkor precompact
2. fejezet A normalizált tér és funkcionális
ha korlátozott és
létezik egyenletesen tekintetében M. x 2, azaz bármely
"> 0, akkor N = N ("). , hogy minden n> N minden x = (x 1; x 2 ,.) 2 M egyenlőtlenség
289. Bizonyítsuk be, hogy egy doboz
fx 2 „2; X = (x 1; x 2 ,.). jx n j 1 = ng
Ez egy kompakt halmaz a térben 2”.
290. Mutassuk meg, hogy a leképezés f feladatról 239 nem fogadja
M legalacsonyabb értékeket. Ez nem ellentétes a Weierstrass-tétel?
2.6 A Hahn-Banach
Az alábbi problémák kell találni a folytatása a funkcionális f altereinek L R n az egész teret R n szabályainak védelmi
291. L = f (x; y) 2 R 2 x = yg; f L = 2x.
292. L = f (x; y) 2 R 2. 2x = yg; f L = x.
293. L = f (x; y) 2 R 2 x = yg; f L = x.