komputertomográfia
A matematikai megfogalmazása a probléma a röntgen tomográfia Radon transzformáció, és inverziós formula
A számítógépes tomográfia X-ray háromdimenziós tárgy képviseli általában formájában egy sor vékony szakaszok. Helyreállítani a vágási sűrűsége oldja meg a problémát kezelni kétdimenziós Radon transzformáció. A radon transzformációs függvény f (x, y) egy függvény egyenlet által definiált
Általában azért, hogy állítsa vissza a függvény két változó annak integrálok egyenes vonal mentén módszerével konvolúció és a hátsó vetítés. Ebben az eljárásban, a radon transzformációs inverziós formula van írva nélkül explicit használata generalizált funkciók. Azonban, a leggyakoribb és természetes formában a radon transzformációs inverziós formula szerezhet egy berendezés segítségével eloszlások. Az e szakasz végén lesz szó közötti kapcsolatot az eljárás általános funkciói és módja konvolúciós és visszavetítés.
Mielőtt bemutatnánk a tényleges numerikus algoritmus kap levezetését a kezelés, így természetesen megy az építkezés egy algoritmus.
Tekintettel az egyenlőség
funkció minden rögzített p határozza meg értékek. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy megy a funkció
Ahol L (R.) -? Ryamaya ortogonális nyaláb, amelynek a szöge. olozhitelnym X tengely irányában, és távközzel a származási távolságnál r (r 0) a r <0 L(r. ) - ?рямая, симметричная относительно начала координат прямой L(|r|. ). Выразим f(x, y ) через I(r. ).
ahol - a Fourier transzformáltja f. Ezután, átadva polár koordinátákkal után elemi integrál transzformációk. intervallumban [. 2?]. oluchaem
Bevezetése S (z.) Funkció, feltételezve
A fix. ? S (. Z) st-dimenziós inverz Fourier-transzformáció a termék és | r |. Egyenlőségre cm. [20]
Az inverz Fourier-transzformáció | r | egy általánosított függvény -1 /? z 2. haladva a Fourier-transzformáció terméket egy konvolúciós, azt kapjuk, S (z.) = I (z.) (-1 /? z 2). Használata szabályozási funkció 1 / Z 2 [19] kapjuk a kifejezést
Így az f (x, y) kielégíti a
amely lehetővé teszi, hogy kifejezze a kívánt funkciót a megfigyelt adatokat.
Mielőtt elmész diszkrét lehetőség, hogy néhány megjegyzést kapcsolatos indoklását helyességét a helység algoritmusok valós helyzetekben. Általános funkciók funkcionáljaira leforgása alatt végtelenül differenciálható rohamosan csökken funkciókat. Azonban, amikor építi a kezdeti becsléseket a tényleges rendbeli adatok megadásához diszkrét pontok, kívánatos, hogy a kevésbé szigorú követelményeket támaszt a sima a közelítő függvények. Konvolúciós generalizált funkciójukat, különösen, a funkciója 1 / Z 2. lehet meghatározni sokkal kevésbé sima funkciókat, ez nagyon fontos, bizonyítva a helyességét a használata numerikus algoritmusok felhasználásával kinyert berendezés általánosított funkciók, a valós adatok.
Mi folytassa a diszkrét kiviteli alak. Feltesszük, hogy az f (x, y) = 0 körön kívül R sugarú origó középpontú. Input adatok értékei I (ri i.), Itt ri - számít, az [- R, R], 1. i. M - számít a [0. ], 1, J. N. Ha most adott értékeknél a függvény I (r.). számít (ri. i) megépítésére közelítő I (r.)? ak, hogy az S (z.)? leírt fontos egyenlőség (1.5.1), majd a (1.5.1) és (1.5.2) lehet egy közelítés az f (x, y). A következőkben azt feltételezzük, hogy a mintákat r tengelyen. Ezek egyenlő távolságra.
Minden rögzített. j meghatározása a következő.
Funkció folytonos első derivált r.
A rács közelítő függvény egybeesik előre beállított számít, és annak származéka ezeken a pontokon egyenlő a minta. Ez igaz az egyenlőség :. . Itt h = 2R / (M-1), I (r0. j) = I (RM + 1 j) = 0, i = 1, ..., M.
Az intervallum [ri. ri + 1] funkció
polinom a harmadik foka r.
Ezek a feltételek lehetővé teszik, hogy kifejezetten kap az együtthatók a megfelelő spline. Közvetlen számítások azt találjuk, hogy
Q (x) függvény második derivált folytonossági, de a modul a második derivált integrálható segítségével ez a tény azt mutatja, hogy a konvolúciós S0 (Z) = Q (x) (-1 /? Z 2) fejezzük ki (1.5.1). Közvetlen számítások megkapjuk
Grafikon függvény Q (x) és az S 0 (Z) különböző értékeire h ábrán látható. Az 1. és ábra. 2.
Cseréje a (1.5.2) S és a szerves részösszegként, megkapjuk az f * (x, y) - közelítés az f (x, y),
Mint a fentiekben említettük, általánosan alkalmazott számítógépes tomográfia módszert konvolúciós és visszavetítés. Tekintsük a kapcsolatát ezzel a módszerrel, és a leírt módszer ebben a szakaszban. Használata integrálás, a konvolúció egy általánosított funkció 1 / Z 2 helyettesíthető differenciálás és konvolúció 1 / z (Hilbert transzformáció).
Ez a funkció
S (z.) = I (z.) 1 / Z 2
Ez is képviselteti magát
Konstrukciójánál numerikus algoritmusok helyett általánosított függvény 1 / z, vagy ezzel ekvivalens, az integrál mint fő értéket, az eljárás konvolúciós és visszavetítés egy olyan szekvenciát alkalmazva a normál funkció pA (Z), konvergál 1 / z (abban az értelemben, generalizált funkciók) amikor a végtelenhez közelít. Használata integrálás, átvisszük egy differenciálódási funkciót pA (Z), és így egy szabályos funkciót konvergáló 1 / z 2. azaz generalizált konvolúciós egy funkció 1 / Z 2 helyén egy szabályos sorrendben kanyarulatok p / A (z) funkciókat.
Így a konvolúció lépés a klasszikus módszer lehet a következő módon értelmezhető: az eredeti adatokat, és a közelítő lépés funkciót konvolúció végezzük a rendszeres funkció, amely közelítés a generikus funkció 1 / z 2.
A módszer A jelen szakasz közelítik kezdeti adatok simább funkciók - spline 3. sorrendben. Ez lehetővé teszi, hogy pontosan kiszámítani a konvolúciós egy általánosított funkció 1 / z 2. ahol kifejezetten.
Lépés vissza vetítési megfelelő konvolúció integráció mindkét algoritmus ugyanaz.
Amikor a algoritmusok valós helyzetekben fontos, hogy fel tudja mérni a zaj hatása a pontosságát közelítések. A jelenléte explicit kifejezés közelítő funkció lehetővé teszi, hogy kiszámítja a szórás a hiba bármikor fix. r. ismert statisztikai jellemzői zaj. Abban az esetben, egy független, additív, állási zaj. (Z) lehet a következő megfigyelés. Tekintsük a folyamatot. a konvolúciós egy 1 / z 2 folyamatot. A spektrális sűrűsége lineáris transzformációk |? |. A spektrális sűrűség folyamatokat. és. Megkapjuk a kapcsolat f? (?) = |? | 2 f? (?). ispersiya folyamatot. véges integrálható, ha f? (?). körülbelül egy folyamat. differenciálható az átlagos négyzetes. A konvolúciós által kifejezett (1.5.1) a folyamat. szükséges, hogy további feltételeket, igénylő, például, hogy a minta funkciók valószínűséggel az egyik volt egy véges második derivált.
Numerikus szimuláció és helyreállítása a sűrűsége valós objektumok használatával a bemutatott módszer ebben a részben mutatott nagy pontosság a módszer, különösen a tanulmány a hibák és a tárgyak, amelyek komplex konfiguráció és földek éles határokkal.
Példák a hasznosítás, ismertetett módszerek alkalmazásával ebben a részben a 3. ábrán látható a vizsgálat tárgya a 10 részecskék. A 3. ábra (balra) megfelel 10 fordulattal, és 3. ábrán (jobbra) megfelel a 32 fordulat.
Rövid leírás. Program dolgozó ablak 3 részre osztható. A bal oldalon az eredeti funkciója a felhasználó által megadott. A központban a program megjelenít egy kétdimenziós Radon transzformáció egy adott funkciót. A jobb oldali panelen jeleníti meg a program eredményeként - helyreállítását az eredeti funkciót. Állítsa be a funkciót, hogy a kurzort a bal oldali ablakban, és nyomja meg a bal egérgombot. Ha nem engedje fel a bal egérgombot, és mozgassa a kurzort, majd így lehet meghúzni a határt. Options „Colors”, „forma”, „méret” lehetővé teszi, hogy meghatározza a forma és sűrűség függvény, amely létrehozta az egérrel. Option „színek” - „piros” objektum megadja sűrűsége 1, lehetőség „színek” - „fekete” beállítja a sűrűsége 0, a lehetőség a „színek” - „közepes” beállítja a sűrűsége 0,5. Alkalmazása során a színek (sűrűség) egymásra sűrűség értéke határozza meg az utolsó szín. A „Törlés” gomb törli a bal oldali ablakban. Options „érzékelők” és a „Forgatás” megadja az érzékelők száma (integrálok egyenes vonal mentén), a menetszáma online forrásból körül funkciót. A „Start” kezdődik a program. A 4., 5. és 6. ábrán az eredményeket a program különböző értékeket a detektorok és fordulatok. Ebben az eredeti funkciót az alábbi paraméterekkel rendelkezik: sűrűsége 1 nagy kör és a mérete 21x21, 13x13 ellipszis a körön belül, és a sűrűsége 0, belül ellipszis - ellipszis 7x7 sűrűsége 0,5. Szintén a nagy kör van ellipszis 7x7 - 0,5, és a sűrűsége 3x3 - sűrűségű 0. 4. ábra a fordulatok számát és az érzékelők a 32 egyenlő a menetek száma az 5. ábrán és a detektorok 64 egyenlő a menetszáma 6. ábra 256 és detektorok.
A folyamatos mozgás az egérrel, megadhatja bonyolultabb tárgyakat. A 7. ábra egy példát ilyen tárgyak.