Módszer mátrix exponenciális

Meghatározása és tulajdonságait a mátrix exponenciális

Úgy véljük, egy négyzetes mátrix \ (A \) mérete \ (n \ alkalommal n, \) elemeket, amelyek lehetnek mind a valós és komplex számok. Mivel a mátrix \ (A \) négyzet, akkor azt is meghatároztuk hatványozást működése, azaz a tudjuk számítani a mátrix \ [= I, \; \; = A,> \; \; = A \ cdot A,> \; \; = \ Cdot A, \; \ Ldots,> \; = \ Underbrace _ \ szöveget,> \], ahol a \ (I \) jelöli az identitás mátrix a rend \ (n. \)

Mátrix össze végtelen erő sorozat \ [I + \ frac> A + \ frac >>> + \ frac >>> + \ cdots + \ frac >>> + \ cdots \] Az összeg a végtelen sorozat a mátrix exponenciális és jelöljük \ (>: \) \ [> = \ sum \ határok _ ^ \ infty >>>> \.] Ez a sorozat abszolút konvergens.

Határesetben, ahol a mátrix egy olyan, egyetlen szám \ (a, \) azaz a mérete \ (1 \ alkalommal 1 \) fenti képletben alakítjuk egy ismert formula bővítése a exponenciális függvény \ (> \) Maclaurin. \ [> = 1 + a + \ frac >>> + \ frac >>> + \ cdots> = ^ \ infty >>>>> \.] Mátrix kiállító a következő főbb jellemzői:

Ha \ (A \) - a nulla mátrix, akkor \ (> = = I; \)

Ha a \ (A = I \) (\ (I \) - identitás mátrix), majd a \ (> = I; \)

Ha \ (A \) van egy inverz mátrixot \ (> \), majd \ (> = I; \)

\ (>> = \ right) A >>, \), ahol \ (m, n \) - tetszőleges valós vagy komplex számok;

A származékot adják a mátrix exponenciális \ [\ frac> \ left (>> \ right) = A>. \]

Let \ (H \) - egy nem-degenerált lineáris transzformáció. Ha a \ (A = HM>, \) jelentése \ (> = H >>. \)

A használata mátrix exponenciális megoldások homogén lineáris rendszerek állandó együtthatós

Matrix exponenciális sikeresen alkalmazható megoldani rendszerek differenciálegyenletek. Tekintsük a rendszer lineáris homogén egyenletet, amely a mátrix formában felírható \ [\ mathbf „\ left (t \ right) = A \ mathbf \ left (t \ jobbra). \] Az általános megoldás ez a rendszer mátrixa képviseli exponenciális, mint \ [\ mathbf \ left (t \ right) => \ mathbf, \] ahol \ (\ mathbf = ,, \ ldots,> \ right) ^ T> \) - tetszőleges \ (n \) - dimenziós vektor. Symbol \ (^ T \) azon áthelyezését jelenti működését. Ebben a képletben nem tudjuk írni a vektor \ (\ mathbf \) előtt egy mátrix exponenciális, mert a termék mátrixok \ (\ mathop> \ limits_ \ right]> \ mathop >> \ limits_ \ right]> \) nincs definiálva.

A probléma a kezdeti feltételeket (Cauchy-probléma) komponensek vektor \ (\ mathbf \) kifejezve a kezdeti feltételek. Ebben az esetben, egy homogén oldatot a rendszer van írva, mint \ [\ mathbf \ left (t \ right) => _ 0>, \; \; \ szöveg \; \; _ 0> = \ mathbf \ left (> \ right) \.] Így a megoldás a homogén egyenletrendszer ismertté válik, ha a megfelelő számított mátrix exponenciális. Annak kiszámításához, akkor a végtelen sorozat, amely tartalmazza a meghatározása a mátrix exponenciális. Gyakran azonban ez lehetővé teszi, hogy megtalálja a mátrix exponenciális csak hozzávetőlegesen. Ezt fel lehet használni, hogy megoldja a problémát, mint algebrai módszer alapja az utolsó tulajdonság a fent felsorolt. Tekintsük ezt a módszert és az általános megoldások részletesebben.

Algoritmus megoldása az egyenletrendszert a mátrix exponenciális

Először is, meg a sajátértékek \ (\) a mátrix (lineáris operátor) \ (A; \)

És összeállítják saját (abban az esetben többszörös sajátértékek) kapcsolódó vektorok;

A kapott sajátvektorok és kapcsolódó vektor képezi egy nem-szinguláris mátrix lineáris transzformáció \ (H. \) Számítsuk a megfelelő inverz mátrixot \ (> \);

Keresése Jordan normális formuJ egy adott mátrix \ (A, \) a következő képlet segítségével \ [J => AH \.] Megjegyzés: A folyamat találni a sajátértékek és kapcsolódó vektorok gyakran válik világossá Jordan szerkezetét minden cellában. Ez lehetővé teszi, egyszer írható Jordan formában nem számolták ki a fenti képlet.

Ismerve Jordan formában \ (J, \) costavlyaet mátrix \ (>. \) Megfelelő képletét ezt a konverziót kimenetére a meghatározása a mátrix exponenciális. Néhány egyszerű formák Jordan mátrix \ (> \) a formája látható a táblázatban: