Sturm - Liouville probléma

Sturm - Liouville. elnevezett Jacques Charles Francois Sturm és Joseph Liouville. Ez az, hogy megtaláljuk a nem triviális (azaz nem azonosan nulla) megoldás az intervallum $(A,\; \backslash ;\; b)$ Liouville - Sturm

\ Alpha _1 y „(a) + \ beta _1 Y (a) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_1 + \ beta ^ 2_1 \ ne 0; \\ \ alpha _2 y „(b) + \ beta _2 y (b) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_2 + \ beta ^ 2_2 \ ne 0; \\ \ end és a paraméterek értékei $\backslash \; lambda$, amelyek szerint az ilyen megoldások léteznek.

operátor $L\; [y]$ Itt - hárul a funkció $y\; (x)$ lineáris másodrendű eltérés üzemeltetője formájában

(Sturm - Liouville és Schrödinger operátor) $x$ - igazi érv.

funkciók $p\; (x),\; \backslash ;\; p\; „(x),\; \backslash ;\; q\; (x),\; \backslash ;\; \backslash \; rho\; (x)$ Feltételezzük, hogy a folyamatos $(A,\; \backslash ;\; b)$, Emellett funkció $p\; (x),\; \backslash ;\; \backslash \; rho\; (x)$ pozitív $(A,\; \backslash ;\; b)$.

A szükséges nem triviális megoldásokat nevezzük eigenfunctions ezt a problémát, és az értékeket $\backslash \; lambda$, amelyben egy ilyen megoldás létezik - saját értékeit (mindegyik sajátérték megfelelő sajátfüggvények).

Nyilatkozat a problémát

Az egyenlet alakjának

Ha a függvény $\backslash \; rho$ és $p$ kétszer folytonosan differenciálható, és pozitív egy szegmens $[A,\; b]$ és funkciója $q$ folytonos $[A,\; b]$, A Sturm - Liouville típus

$(P\; (x)\; y\; \text{'})\text{'}\; -\; q\; (x)\; y\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash \; rho\; (x)\; y\; =\; 0$

a Liouville átalakulás formájában

Ezért gyakran tekintik Sturm - Liouville formájában (1), a függvény $q\; (x)$ az úgynevezett potenciális Sablon: SFN Sablon: SFN. Vizsgálták a Sturm - Liouville üzemeltető potenciál különböző osztályainak funkciók: folyamatos. $L$ (Summable) $L\_2$ és mások.

Típusú peremfeltételek

• Dirichlet feltételek $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0.$
• Neumann feltételek $y\; \text{'}(a)\; =\; y\text{'}\; (b)\; =\; 0$
• Feltételek Robin $y\; \text{'}(a)\; -\; h\; Y\; (a)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; y\text{'}\; (b)\; +\; H\; y\; (b)\; =\; 0.$
• Vegyes feltételek: feltételek különféle különböző részein a szegmens $[A,\; b]$.
• Szakítás a peremfeltételek általános formája

$\backslash \; begin$

\ Alpha _1 y „(a) + \ beta _1 Y (a) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_1 + \ beta ^ 2_1 \ ne 0; \\ \ alpha _2 y „(b) + \ beta _2 y (b) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_2 + \ beta ^ 2_2 \ ne 0. \\ \ end

• időszakos feltételek $y\; (a)\; =\; y\; (b),\; \backslash \; quad\; y\; \text{'}(a)\; =\; y\text{'}\; (b)$.
• antiperiodic feltételek $Y\; (a)\; =\; -y\; (b),\; \backslash \; quad\; y\; \text{'}(a)\; =\; -Y\text{'}\; (b)$.
• Általános peremfeltételek

$A\_\; Y\; (a)\; +\; A\_\; y\; \text{'}(a)\; +\; A\_\; y\; (b)\; +\; A\_\; y\text{'}\; (b)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; 2.$

Az utóbbi esetben, általában további feltételeket rendszeresség együtthatók $a\_$. Sablon: SFN Sablon: SFN

Az egyszerűség kedvéért egy tetszőleges intervallum $[A,\; b]$ gyakran lefordítva egy szegmens $[0,\; l]$ vagy $[0,\; \backslash \; pi]$ helyett a változó.

Liouville - Sturm

Liouville - Sturm

$L\; Y\; =\; -\; \backslash \; frac\; \backslash \; Bigl\; (\backslash \; frac\; \backslash \; bal\; [p\; (x)\; \backslash \; fracy\; \backslash \; right]\; -\; q\; (x)\; y\; \backslash \; Bigr)$

Ez egy különleges eset a lineáris eltérés üzemeltető

A domain $L$ Ez egy kétszer folytonosan differenciálható az intervallum $[A,\; b]$ függvény $y$, Liouville - kielégíti a peremfeltételeket Sturm. Így a Sturm - Liouville probléma lehet tekinteni, mint egy probléma a sajátértékek és eigenfunctions az üzemeltető $L$: $L\; y\; =\; \backslash \; lambda\; y$. Ha a függvény $p$, $q$, $\backslash \; rho$ és az együtthatók a peremfeltételek valósak. operátor $L$ egy önadjungált Hilbert tér $L\_2\; ([a,\; b],\; \backslash \; rho\; (x)\; \backslash ,\; dx)$. Következésképpen a sajátértékek valós és a eigenfunctions ortogonális súlya $\backslash \; Rho\; (x)$.

megoldás a problémára

Megoldás Sturm - Liouville potenciálmentes:

-y = \ lambda y, \ qquad (2)

y (0) = y (l) = 0 Megtalálható az explicit videShablon: SFN. enged $\backslash \; Lambda\; =\; \backslash \; rho\; ^\; 2$. Az általános egyenlet megoldása (2) minden egyes rögzített $\backslash \; lambda$ úgy néz ki,

y (x) = A \ frac + B \ cos \ rho x \ qquad (3) (Különösen, ha $\backslash \; Rho\; =\; 0$ (3) ad $y\; (x)\; =\; Ax\; +\; B$). -tól $y\; (0)\; =\; 0$ kell, hogy legyen $B\; =\; 0$. Behelyettesítve (3) a peremfeltételek $y\; (l)\; =\; 0$, kap $A\; \backslash \; frac\; =\; 0$. Mivel keresünk egy nem triviális megoldás, akkor $A\; \backslash \; ne\; 0$, és eljutunk a egyenletet a sajátértékek

\ Frac = 0. gyökerei $\backslash \; Rho\_n\; =\; \backslash \; frac$, így az ismeretlen sajátértékek az űrlap

\ Lambda_n = \ left (\ frac \ right) ^ 2, \ quad n = 1, 2, 3, \ pontok és a megfelelő eigenfunctions vannak

y_n (x) = \ sin \ fracx, \ quad n = 1, 2, 3, \ pontok (Akár multiplikatív konstans).

Az általános eset

Liouville - Általában minden olyan döntést Sturm

$-y\; +\; q\; (x)\; y\; =\; \backslash \; lambda\; y\; \backslash \; qquad\; (4)$

$y\; (x)\; =\; A\; S\; (x,\; \backslash \; lambda)\; +\; B\; C\; (x,\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; qquad\; (5)$

döntéseit $S\; (x,\; \backslash \; lambda)$ és $C\; (x,\; \backslash \; lambda)$, kielégíti a kezdeti feltételek

$S\; (0,\; \backslash \; lambda)\; =\; C\; \text{'}(0,\; \backslash \; lambda)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; S\text{'}\; (0,\; \backslash \; lambda)\; =\; C\; (0,\; \backslash \; lambda)\; =\; 1$.

megoldások $S\; (x,\; \backslash \; lambda)$ és $C\; (x,\; \backslash \; lambda)$ alkotnak alapvető megoldásokat az egyenlet rendszer (4) és a szerves jellemzői $\backslash \; lambda$ Minden rögzített $x$. (Ha $q\; (x)\; \backslash \; ekvivalens\; 0$ $S\; (x,\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; rho\; x$, $C\; (x,\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; rho\; x$, $\backslash \; Rho\; =\; \backslash \; sqrt\; \backslash \; lambda$). Behelyettesítve (5) a peremfeltételek $y\; (0)\; =\; y\; (\backslash \; pi)\; =\; 0$, azt látjuk, hogy a sajátértékek egybeesik a nullákat a karakterisztikus függvény

$\backslash \; Delta\; (\backslash \; lambda)\; =\; S\; (\backslash \; pi,\; \backslash \; lambda),$

Általában, a sajátértékek és eigenfunctions nem található kifejezetten, de aszimptotikus képletek kapott:

$\backslash \; Sqrt\; \backslash \; lambda\_n\; =\; n\; +\; \backslash \; frac\; +\; O\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; c\; =\; \backslash \; frac\; \backslash \; int\_0\; ^\; q\; (\backslash \; tau)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau,$ $y\_n\; (x)\; =\; \backslash \; sin\; n\; x\; +\; O\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; \backslash \; jobbra),$

(Abban az esetben, folyamatos on $[0,\; \backslash \; pi]$ potenciális $q\; (x)$) .Shablon: SFN At nagy $n$ sajátértékek és funkciók hasonló a sajátértékek és eigenfunctions egy példa a nulla potenciál.

A tulajdonságait a sajátértékek és eigenfunctions

• Van egy végtelen megszámlálható halmaz sajátértékek: .
• Minden sajátérték $\backslash \; lambda\_n$ Ez megfelel egy egyedi, akár egy állandó tényezőt sajátfüggvény $y\_n$.
• Minden sajátértékek valósak.
• Abban az esetben, a peremfeltételek $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0$ és ha a feltétel $q\; (x)\; \backslash \; geqslant\; 0$ minden sajátérték pozitív $\backslash \; Lambda\_n>\; 0$.
• saját funkciója $y\_n\; (x)$ kialakított $[A,\; \backslash ;\; b]$ ortogonális súly $\backslash \; Rho\; (x)$ rendszer $\backslash$:

$\backslash \; Int\; \backslash \; limits\_a\; ^\; b\; y\_n\; (x)\; y\_m\; (X)\; \backslash \; rho\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; n\; \backslash \; neq\; m.$

• Steklov tétel érvényes.

Numerikus módszerek megoldására

• A forgatás módszer. A probléma megoldása érdekében a Sturm - Liouville probléma peremfeltételek Dirichlet $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0$, lehet tenni, hogy a kezdeti Cauchy probléma a kezdeti feltételek $u\; (a)\; =\; 0$, $u\; „(a)\; =\; 1$ és az ólom megfigyelés paraméter $\backslash \; lambda$ mielőtt a jobb széle usloviya.Shablon: SFN
• Véges differencia módszer Minta: SFN [1]. Épített véges differencia közelítés, amely lehetővé teszi, hogy cserélje ki a Sturm - Liouville probléma megtalálni a sajátértékek.
• Módosított vektor módszer. különbség sajátfüggvény kiegészítve alkatrész $y\_\; =\; \backslash \; lambda$. Viszonylag Módosított kapott vektort nemlineáris rendszer, amely lehet megoldani Newton-módszerrel .Shablon: SFN
• .Shablon Galerkin módszer: SFN
• Variációs módszerek. [2]

Alkalmazás a megoldás a parciális differenciálegyenletek

Példaként vegyünk egy határ érték problémát hiperbolikus egyenletek.

$(H\_1\; u\_x\; -\; h\; u)\; \_\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; (H\_1\; u\_x\; +\; H\; u)\; \_\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; (7)$ $u\_\; =\; \backslash \; Phi\; (x),\; \backslash \; quad\; u\_\; =\; \backslash \; Psi\; (x).\; \backslash \; Qquad\; (8)$

itt $x$ és $t$ - független változók. $u\; (x,\; t)$ - ismeretlen funkciójú, $\backslash \; rho$, $k$, $q$, $\backslash \; Phi$, $\backslash \; Psi$ - ismert funkciók, $H,\; h\_1,\; H,\; H\_1$ - valós számok .Shablon: SFN Arra törekszünk nem azonosan nulla részleges megoldásokat (6) egyenlet, amelyek megfelelnek a peremfeltételek (7) formájában

$u\; (x,\; t)\; =\; y\; (x)\; T\; (t)\; \backslash \; qquad\; (9)$.

Helyettesítése formájában (9) be (6) egyenlet ad

mert $x$ és $t$ - független változók, az egyenlőség csak akkor lehetséges, ha mindkét frakciót egyenlő állandó. Jelöljük ezt állandó $-\backslash \; lambda$. kap

$T\; (t)\; +\; \backslash \; lambda\; T\; (t)\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; (10)$

Helyettesítése formájában (9) a peremfeltételek (7) ad

$h\_1\; Y\; \text{'}(0)\; -\; h\; Y\; (0)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; H\_1\; Y\text{'}\; (l)\; +\; H\; Y\; (l)\; =\; 0.\; \backslash \; qquad\; (12)$

Nem triviális megoldások (6) - (7) a forma (9), már csak a értékek $\backslash \; lambda$, Liouville (11) - - a sajátértékei a Sturm (12) $\backslash \; lambda\_n$. Ezen megoldások formájában $T\_n\; (t)\; Y\_n\; (x)$, ahol $Y\_n\; (x)$ - sajátfüggvények a probléma (11) - (12) $T\_n\; (t)$ - az oldatot a (10) egyenlet $\backslash \; Lambda\; =\; \backslash \; lambda\_n$. A kapott (6) - (8) formájában van egy összege adott megoldások (Fourier-sor a sajátfüggvények a Sturm - Liouville $Y\_n\; (x)$):

$u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; sum\_\; ^\; T\_n\; (t)\; Y\_n\; (x).$

Inverz Sturm - Liouville

Inverz Sturm - Liouville probléma az, hogy visszaállítsuk az épület $q\; (x)$ Liouville - Sturm $-y\; +\; q\; (x)\; y$ és az együtthatók a peremfeltételek a spektrális harakteristikam.Shablon: SFN Sablon: SFN Sablon: SFN Inverse Sturm - Liouville szereplők és általánosítások Alkalmazhatók mechanika. fizika. elektronika. geofizika. meteorológia és más területeken a tudomány és a technológia. Van egy fontos módszer integrálására a nemlineáris evolúciós egyenletek (például egyenletek dV) kapcsolódik az inverz Sturm - Liouville a tengelyen (

Egy spektrum (a beállított sajátértékek) rendszerint nem elegendő ahhoz, hogy egyedileg rekonstruálni az üzemeltető. Ezért, mint az eredeti adatokat az inverz probléma általában az alábbi spektrális jellemzőkkel rendelkezik:

1. Két spektrum megfelel különböző peremfeltételek (feladat Borg).
2. A spektrális adatok, beleértve a sajátértékek és súly szám egyenlő a tér a norma saját funkcióit az űrben $L\_2$.
3. Weil funkció - Meromorf funkciót. arány egyenlő a két jellegzetessége a különböző határ érték problémák.

Mind a adathalmazok, 1-3 egyértelműen meghatározza a lehetséges $q\; (x)$. Továbbá, a feladat Weyl funkció egyenértékű meghatározó két spektrum vagy spektrális adatokat, így az inverz probléma szerinti 3.1 ekvivalens. Vannak konstruktív megoldási módjait, inverz Sturm - Liouville probléma csökkentése alapján a nemlineáris inverz problémák lineáris egyenletek bizonyos Banach terek .Shablon: SFN

jegyzetek

irodalom