Sorozat Krugosvet enciklopédia
arra lehet következtetni, hogy a sorozat (8) konvergál is. Összehasonlítás egy alapvető módszer, amely lehetővé teszi a konvergencia sok sorozat, összevetve azokat a legegyszerűbb konvergens sorozat. Néha egy speciális konvergencia jeleit (ezek megtalálhatók a szakirodalomban az elmélet sorozat.) Íme néhány példa a konvergens sorozat pozitív értelemben:
Összehasonlítása felhasználható létrehozni számos eltérést mutat. Ha a sorozat eltér, akkor a sorozat eltér a 0 £ milliárd £ egy.
Példák eltérő sorozat szolgálhat a soraiban
és különösen a harmonikus sor
A divergencia sorozat látható számolva a következő részösszegek:
stb Így a részleges összegeket, amelyek végén tagja 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ¼. haladja meg a részleges összegeket eltérő sorozat (6), és ezért a számát (14) kell egymástól.
Abszolút és feltételes konvergencia.
Az ilyen sorozatok
összehasonlító módszer nem alkalmazható, mert a tagok ezt a sorozat különböző jeleket. Ha minden feltételét (15) volt pozitív, már kapott egy sor (3), amely ismert, hogy ez konvergál. Meg lehet mutatni, hogy ez azt jelenti, a konvergencia sorozat (15). Amikor a változás a negatív értelemben számos nyomot a vele szemben lehet alakítani egy konvergens, azt mondják, hogy az eredeti sorozat konvergál teljesen.
A váltakozó harmonikus sor (1) nem tökéletesen konvergens, hiszen sorozat (14), amely az azonos, de csak a pozitív értelemben, nem konvergálnak. Azonban révén speciális jeleket konvergencia váltakozóan tudja mutatni, hogy a sorozat (1) konvergál a valóságban. Konvergens sorozat, amely nem konvergál teljesen, az úgynevezett feltételesen konvergens.
Műveleti sor.
Ezen döntés alapján a konvergens sorozat, akkor könnyen azt mutatják, hogy a konvergencia nem befolyásolják törléseket vagy tulajdonított, hogy egy véges számú tagra, valamint szorzás vagy osztás minden szempontból a sorozat egy és ugyanazt a számot (természetesen 0-val osztás van zárva). Semmilyen permutáció tagjainak abszolút konvergens sorozat konvergál nem törött, és az összeg nem változik. Például, mivel az összes (2) egyenlő 1, az összeg a számos
Azt is egyenlő 1, mivel a menetek száma a sorozat (2) átrendeződés a szomszédos tagok (1 st tagja a 2., stb). Tetszőlegesen módosíthatja a rendelés feltételeinek egy abszolút konvergens sor, ha csak az új sorozatban részt vett valamennyi tagja az eredeti. Másrészt, átrendeződése, feltételesen konvergens sorozat megváltoztathatja az összeget, és azt is, eltérő. Sőt, a tagok egy feltételesen konvergens sorozat mindig átrendezhető úgy, hogy konvergál valamilyen előre meghatározott összeget.
Két konvergáló sorozat és San SNB termwise adhat (vagy kivonás), hogy az összeg az új sorozat (ami szintén konvergál) összegéből áll az eredeti sorozat, a mi jelöléssel
Ha további feltételeket, például akkor, ha mindkét teljesen konvergálnak, akkor meg kell szorozni egymással, mint ahogyan azt a véges összegeket kapott kettős sorban (cm. Az alábbiakban) konvergál a terméket összegek első sorozatát.
Summability.
Annak ellenére, hogy a definíció a konvergencia végtelen sorozatban elfogadott természetesnek tűnik, hogy ez nem egyedi. az összeg egy végtelen sorozat lehet meghatározni más módon. Vegyük például, a sorozat (7), amely lehet írni kompakt, mint
Mint mondtuk, részleges összegeket felváltva értéke 1 és 0, és így a sorozat nem konvergál. De ha teszünk be páronként átlagosan a részösszegek (jelenlegi átlag), azaz Először kiszámítjuk az átlagos értéke az első és a második részleges összegeket, akkor az átlag a második és a harmadik, a harmadik és a negyedik, stb akkor minden ilyen átlagos egyenlő 1/2, és így korlátozza a páronkénti átlagos, hogy egyenlő 1/2. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a sorozat összefoglalja a fenti módszerrel és annak összege egyenlő 1/2. Sok összegzése módszereket javasoltak, hogy tulajdonítani az összeg meglehetősen tág osztálya eltérő sorozat, és így használni néhány eltérő sorozat a számításokban. A legtöbb esetben az eljárás összegzése hasznos, de csak akkor, ha a hivatkozás számos összetartó odaadja az utolsó összeget.
Sorozat összetett kifejezéseket.
Eddig már hallgatólagosan feltételezik, hogy van dolgunk csak a valós számokat, de a definíciókat és tételeket kell alkalmazni sorok komplex számok (kivéve, hogy az összeg nyerhető átrendezésével feltételeinek feltételesen konvergens sorozat nem lehet önkényes érték).
Funkcionális sorozat.
Amint azt már említettük, a végtelen számú tagjai lehetnek nemcsak a száma, hanem a funkció, például,
A összege ez a szám is egy függvény, amelynek értéke minden ponton úgy kaptunk, mint határérték kiszámítása ezen a ponton a részleges összegek. Ábra. Az 1. ábra grafikonok több részleges összegek, és összegeket (x változó 0 és 1); sn (x): az összege az első n tag. Összeg számát jelenti a függvény egyenlő 1, 0 x J <1 и 0 при x = 1. Функциональный ряд может сходиться при одних значениях x и расходиться при других; в рассмотренном нами примере ряд сходится при –1Ј x <1 и расходится при других значения x .
Az összeg a funkcionális sorozat lehet érteni különböző módon. Bizonyos esetekben fontos tudni, hogy a részleges összegek közel (bizonyos értelemben) egy függvény az egész intervallum (a. B), azt bizonyítja a konvergencia vagy divergencia számos különböző pontján. Például, jelölő részösszegként n-ed rendű Sn (X), azt mondjuk, hogy a sorozat konvergál négyzetes közép összegével s (x), ha
Sorozat konvergálhatnának az átlagos négyzetes akkor is, ha nem konvergál egyetlen ponton. Vannak még egyéb meghatározásokat a konvergencia funkcionális sorozat.
Néhány sor funkciót nevezzük a funkciókat, amelyekhez tartoznak. Példaként teljesítmény sorozat és ezek összegei: