Sajátvektor és sajátérték
Mint látható, a kézi számítási eredmények gyakorlatilag azonosak azokkal, amelyeket a Mathcad programot.
Ellenőrizze magad, hogy a kapott sajátvektorok kölcsönösen ortogonális, azaz ha i * k nulla belső termék.
Számoljuk ki a sajátértékek általában nehezebb, mint találni bizonyos sajátértékek megfelelő sajátvektor. Egyes meghatározott esetekben, saját értékeit számítjuk könnyen. Például, ha a diagonális vagy háromszög alakú mátrix, a determináns egyenlő a termék a átlós elemek, és ezért, a sajátérték egyenlő az átlós elemek. Könnyen kiszámítható a sajátértékei tridiagonális mátrix, valamint a szinte háromszögmátrix.
A diagonális mátrix sajátérték # 955; i = aii felelős egység sajátvektor xi = (0, ..., 1, ..., 0) T., amelynek i-edik komponense egyenlő 1, és a fennmaradó komponenseket értéke 0.
3.5 Tétel. A sajátértékei szimmetrikus mátrix valódi elemek érvényesek, és a sajátvektor megfelelő különböző sajátértékek ortogonálisak.
Tétel 3.6. ha # 955; min és # 955; max - a legkisebb és a legnagyobb sajátértékei a valós szimmetrikus mátrix bármely x vektor egyenlőtlenség
Definíció 3.6. A valós szimmetrikus mátrix azt mondják, hogy pozitív definit, ha bármilyen vektor x ≠ 0 a feltétel
Tétel 3.7. Valós szimmetrikus mátrix pozitív definit akkor, ha az összes sajátérték pozitív.
Tétel 3.8 (Sylvester kritérium). Ahhoz, hogy valós szimmetrikus mátrix A = [aij] pozitív definit, ha, és csak akkor, ha az összes fő átlós kiskorúak determináns pozitívnak:
Tétel 3.9 (Perron tétel). Ha minden eleme egy négyzetes mátrix pozitív, akkor a legnagyobb modulusa sajátérték pozitív és nem többszöröse és a megfelelő sajátvektor pozitív koordinátákat.
Rassmotrimiteratsionny meghatározására szolgáló módszer a maximális abszolút értéke a sajátérték és a megfelelő sajátvektor mátrix, amely felírható az alábbi algoritmus [7]:
Minden téma ebben a szakaszban:
Normák a vektorok és mátrixok
Itt a szabványok meghatározásához és a mátrix vektorok [1]. Adott egy x = (x1, x2, ..., xn) T. leginkább óra
Megoldása rendszerek lineáris algebrai egyenletek
Elméleti feltételek létezése és egyedisége megoldások rendszerek lineáris egyenletek ismertek - a fő meghatározója nullának kell lennie. Ezután az oldatot megtalálható Cramer szabály
Gauss módszer megoldására rendszerek lineáris egyenletek
Tegyük fel, hogy azt szeretnénk, hogy oldja meg a rendszer n lineáris egyenletek n ismeretlenes
Algoritmus minánsok elforduló oszlopokkal.
1. m = 1, 2, ..., n - 1 elvégezni átalakulások: Keressünk maximális elem abszolút értékben a m-edik oszlopa. Legyen ez a cél elemet. EK
iteratív
Mi írjuk az egyenletrendszert (3.9) formájában Ax = b, (3,21), ahol A - a mátrix együtthatók, és b
Seidel módszer
Tegyük fel, hogy meg akarjuk oldani az egyenletrendszert (3.1): (3.25)
Hiba megoldások és a feltételrendszer az egyenletrendszer
Tekintsük a hatás a hiba, és a jobb oldalon a tulajdonságait a mátrix lineáris egyenletrendszer megoldása a hibát. Tegyük fel a jobb oldalon a rendszer megközelítőleg adják, pontossággal # 951;: nbsp
A számítás a determináns és az inverz mátrixot
Kiszámítása mátrix determináns egy klasszikus példája a feladatokat, amelyekre fontos, hogy megtalálják a hatékony algoritmusok. Disclosure A közvetlen meghatározója négyzetes mátrix
A módszer a skaláris termékek
Tekintsük módszer skaláris termékek [7], hogy meghatározzuk a legnagyobb sajátérték és a megfelelő sajátvektor valós mátrix Tétel 3.10.
Az algoritmus a skalár termékek a módszer.
1. Határozza meg a kezdeti megközelítés: x0 - egy sajátvektor A mátrix és y0 = x0 - a
Feladatok a független döntést.
Oldjuk meg a lineáris egyenletrendszer Ax = b táblázatokba Gauss módszer. Számítsuk ki a meghatározója a mátrix Gauss módszer. Keresse Kapcsolat