Poincaré-sejtés
hipotézis
Birch - Swinnerton-Dyer
Általánosított Poincaré-sejtés - az az állítás, hogy minden n-dimenziós sokrétű jelentése homotopy egyenértékű az n-dimenziós gömb akkor és csak akkor, ha homeomorf azt. A fő Poincaré sejtés egy speciális esete a generalizált sejtés n = 3. Végére a XX században, ez volt az egyetlen eset bizonyított. Így teljessé az igazolás Perelman bizonyítása az általánosított Poincaré-sejtés.
Ricci áramlás - egy bizonyos parciális differenciálegyenlet. mint a hő egyenlet. Ez lehetővé teszi, hogy torzítják a Riemann-metrikát a sokrétű, de a folyamat deformáció, a formáció a „szingularitás” - a pontok, ahol a görbület tart végtelenbe, és a deformáció nem lehet folytatni. A fő lépés a bizonyíték az osztályozását szingularitásoknak háromdimenziós orientált ügyben. Amikor közeledik a szingularitás leállítjuk és termelnek „műtét” - bocsátanak ki kis csatlakoztatott komponens vannak vágva, vagy „nyak” (azaz, nyitott terület diffeomorphic közvetlen termék (0. 1) × S 2>), és a kapott két furat van lezárva két golyó, így kapott, hogy a mutató gyűjtőcső válik kellően sima -, majd tovább, az áramlási deformáció Ricci.
A fent leírt eljárás az úgynevezett „Ricci áramlási műtét.” Osztályozása szingularitás lehet következtetni, hogy az egyes „darab eldobott” diffeomorphic gömbölyű térbeli alakzatot.
A bizonyítva Poincare kezdődik egy tetszőleges egyszerűen csatlakoztatva Riemann-metrikát a háromdimenziós sokrétű M és alkalmazni ahhoz Ricci áramlási műtét. Fontos lépés az, hogy bizonyítani, hogy ennek eredményeképpen ez a folyamat „dobott” mindent. Ez azt jelenti, hogy az eredeti elosztócső M leírható mint egy sor szférikus tér formák S 3 / Γ i / \ Gamma _>. egymással összekötve cső [1 0] × S 2>. Kiszámítása az alapvető csoport mutatja, hogy M jelentése diffeomorphic a csatlakoztatott összege egy sor térbeli formák S 3 / Γ i / \ Gamma _>, és ezenkívül az összes Γ i> triviális. Így M a csatlakoztatott összege egy sor gömbök, vagyis egy gömb.
1900-ban, Poincaré tette a feltételezést, hogy a háromdimenziós osztó minden homológ csoportok, mint a gömb homeomorf a gömböt. 1904-ben ő is talált egy ellenpélda, most hívott a Poincaré szférában. és megfogalmazta a végleges változat a hipotézist. Kísérletek bizonyítják Poincaré-sejtés vezetett, hogy sok előrelépés a topológia házakat.
Poincaré-sejtés sokáig nem vonzza a figyelmet a kutatók. 1930 Dzhon Uaythed felébresztette az érdeklődést a hipotézist, amelyben bejelenti a bizonyítás, de aztán feladtam. A keresés alatt talált néhány érdekes példát egyszerűen csatlakoztatva non-compact 3-házakat nonhomeomorphic R3>. A prototípus, amely ismert a sokszínűség a Whitehead.
Bizonyíték a generalizált Poincare n ⩾ 5 kapott elején 1960-1970 Smale szinte egyszerre. függetlenül és más módszerek Stallings (Eng.) (n ⩾ 5. annak bizonyítéka bővült esetben n = 5 6 Zeeman (Eng.)). A bizonyíték sokkal nehezebb az esetben n = 4 kaptunk csak 1982-ben Friedman. Tól Novikov tétel a topológiai invarianciáját Pontryagin osztályok léteznek homotopy egyenértékű, de nem homeomorf házakat nagy méretek.