Összes fogyasztói választás
Hagyja, hogy a fogyasztó, miután egy bizonyos mennyiségű forrást, teljesen töltse meg a beszerzéseket illetően. Állítsa be a vásárolt áruk alapján a rendelkezésre álló összeg, és a saját preferenciái. A matematikai modell a viselkedés a fogyasztó modelljének hívjuk fogyasztói választás.
Tekintsünk egy sor két fogyasztási cikkek (), ahol x és y - összege az első és a második egység az áruk volt. A fogyasztói kosár - egy pont a derékszögű koordináta-rendszert XOY koordinátái ().
Fogyasztói attitűdök különböző készletek említett áruk fogyasztók választási lehetőségeit.
Ha minden set (), hogy a fogyasztó megfelelőségértékelési formájában egy sor számos u. megkapjuk a fogyasztó hasznossági függvény u ().
Hagyjuk meg célszerű állítani. Ezután a becslés által meghatározott fogyasztás eléri a beállított pontszámot. azaz . Minden felhasználó saját hasznossági függvény.
A tulajdonságait a hasznosság függvény
1. A fogyasztás növekedését a termék állandó fogyasztása a másik vezet a növekedés a közüzemi funkció:
Az első részleges származékok a hasznossági függvény a fogyasztó nevezzük határérték poleznostyamisootvetstvuyuschih termékek:
- a marginális hasznosságát az első termék;
- a marginális hasznosságát a második termék.
2. A hasznossági függvény legyen legalább kétszer differenciálható. A parciális deriváltja a termék a határhasznát ugyanazon változó negatívnak kell lennie, azaz, határhaszna kisebb, minél magasabb a változó (ezt a terméket). Ebből következik, hogy a második részleges származékok azonos argumentum negatívnak kell lennie, azaz,
Ezt a tulajdonságot nevezzük a törvény a csökkenő határhaszon.
3. A második parciális deriváltja a termék a határhaszna másik változó pozitívnak kell lennie, azaz, határhaszon növeli egy másik változó (a másik termék). Így
Ha ez a funkció nem hasznosíthatók, a probléma a fogyasztók választási ingatlan a 2. és 3., mégis előfordulhat írják le a tényleges viselkedését a felhasználó.
Vonal szintű fogyasztói hasznosság függvények vonal közömbösség.
közömbösség vonalak egyváltozós függvényeket. Ez a funkció a következő formában:
Sok közömbösség vonalak nevezzük chart közömbösség vonalak (5.).
Ábra. Az 5. ábra közöny vonalakra szintű fogyasztóvédelmet segédprogramot. és. közömbösség vonalak ne érintse, illetve átfedés. Szintjének növelésével a hasznossági függvény közömbösség vonalak felé tolódott el a jobb felső sarokban. Például, ábra. 11.1 egyenlőtlenség.
Ábra. 5. közömbösség vonalak
A fenti tulajdonságokat hasznosságfüggvénye következőképpen közömbösséget vonal az xy koordinátarendszerben csökken, és konvex lefelé (konkáv) függvény.
Ha figyelembe vesszük a differenciál hasznosságfüggvénye mozgatásakor összekötő vonal mentén, láthatjuk, hogy ez egyenlő a nullával. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a függvény értéke nem változik. Így
Ebből következik, hogy
Származékos úgynevezett marginális helyettesítési rátáját a termék az első másodpercben.
Mivel a számláló és a nevező - pozitív érték (funkció 1), a származék közömbösség funkció negatív, azaz Ez a funkció csökken.
A második deriváltja a funkció által talált differenciáló (41):
Mivel az első kifejezés a számláló pozitív tekintettel tulajdonságok az 1. és 2., a segédprogram függvény, a második kifejezés a számláló szintén pozitív véve tulajdonságok 1. és 3., a segédprogram funkciót, akkor a második függvény deriváltját az érték közömbösség pozitív. Ez azt jelenti, hogy a közömbösség vonalak konvex alja felé.
Ha megy a végtelenül kicsi lépésekben dx és dy a végére, és lépésekben. felírhatjuk a következő közelítő egyenletet:
Összehasonlítva ezt a kifejezést a (41) találunk
Frakció úgynevezett norma vtorym.Norma helyett az első helyettesítő termék megmutatja, hogyan kell változtatni a második termék fogyasztása, ha változik a fogyasztása az első termék egységet. Ha tudja a segédprogram funkciója a helyettesítési rátáját kerül kiszámításra a (42) képletű.
Példa. Tegyük fel, hogy egy hónap alatt fogyaszt 45 egység termék X és 36 egység a termék. fogyasztó hasznossági függvény által adott kapcsolatban
Annak meghatározására, az az összeg, amely alatt a fogyasztó növeli a bevitel a második termék a fogyasztás csökkenését, az első tíz egység.
Határozat. Rate helyett az első második terméket is megtalálható a (42) egyenletben:
Amikor csökkenti a termék fogyasztása x 10 egység termék fogyasztás növekedni fog a 12,5 egység. Tény, hogy
Így, a helyettesítési ráta jelzi, hogy mennyi a felhasználónak meg kell növelni (csökkenése) a fogyasztása egy második terméket, ha csökken (megemelt) fogyasztása az első termék egy előre meghatározott összeget.
Optimalizálása a hasznossági függvény
Természetesen, az ügyfél kívánja használni, mint a rendelkezésre álló eszközökkel, hogy a legtöbbet hozza ki a beruházás egy meghatározott mennyiséget.
Az objektum a fogyasztók választási úgynevezett fogyasztói definíciója létezik egy ilyen hasznossági függvény, amely maximalizálja a fogyasztó egy adott költségvetési korlát. Ez a készlet az úgynevezett optimális a fogyasztó vagy a helyi fogyasztói piaci egyensúlyt.
Költségvetési korlát nevezzük azt az összeget (jövedelem), amely a vásárlási, megadott árut.
Ha két árut, a költségvetési korlát I és az árakat az első és második termékek kapcsolódó
Matematikai probléma a választás lehet írott formában az FMF:
A probléma megoldásának matematikai kiválasztás (44) általában helyettesíthető egy költségvetési korlát egyenlete. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy az érték a hasznosság függvény növelésével növekszik x és y. Maximális hazugság szélsőjobboldali és alacsony pontokat. Következésképpen, a feladat matematikai programozás helyébe a problémát, hogy egy feltételes szélsőérték: Feltéve
ahol - az objektív függvény; - kommunikációs funkciót.
A Lagrange-e probléma a következő formában:
Rendszert tartalmazó lineáris egyenletek, amelyek nullának, az első részleges származékok Lagrange-függvény:
Megszorozzuk az első egyenletet. és a második -, és vonjuk ki a második egyenletből az első:
Így, az egyenletrendszert a csonka gyanús pont Lagrange-függvény lehet átírni:
Összehasonlítva (46) a (42) megkapjuk
azaz az arány a csere az első termék az arány a második ára az első termék, az ár a második.
A geometriai jelentése a feltételes szélsőérték egy függvény a lényeg az, hogy a gradiensek a célfüggvény és kommunikációs funkciót. jön ki a lényeg. szükségképpen található egy egyenes merőleges a vonalak és szintek és funkciók. Vonalszintű hasznossági függvény a közöny vonal, és a vonal-szintű kommunikáció ugyanúgy működik, mint a költségvetési korlát. Line funkciók és szintek. tartalmazó pont. aggodalmát ezen a ponton.
A gradiens a függvény jobbra mutat felfelé. Tény, hogy
hanem a pozitív feltétel a probléma.
Hasonlóképpen, a gradiens funkció célja.