ortogonális kiegészítője
Legyen V - euklideszi térben a belső terméket (x, y), W - altér V.
A készlet minden vektor x. ortogonális az összes vektor W. jelöljük, ez az úgynevezett ortogonális kiegészítője az altér W. Nézzük tulajdonságait írjuk le az ortogonális kiegészítője.
Az ingatlan 2.3. - lineáris altér V.
Bizonyítás. Tegyük fel, és az egyenletek. Ezekből az egyenletekből levezetjük a egyenlőség és mi az. Az ingatlan tehát beigazolódott.
Bizonyítás. Készítünk egy ortogonális alapot a altér W és kiterjesztése egy ortogonális alap vektorokat az egész teret V. ortogonális vektorok, és így, bármely vektor W. Következésképpen, a vektorok tartoznak ortogonális komplementerével W. lebomlanak egy tetszőleges x vektor az alapon, és feltételezik. Mivel x = y + z, majd állítsa a egyenlőség.
Megmutatjuk, hogy az összeg közvetlenül. Legyen, akkor (x, x) = 0 a skalár szorzata a vektor W által a vektor a ortogonális komplement a vektor W. Az egyetlen nulla hossza 0, és így a kereszteződés amely csak a nulla vektor és az összeget a vonal.
Ez következik a tulajdonságok a direkt összege altér.
Bármely olyan vektor, x lehet képviseli a térben V összegeként az y vektor W és a vektor alterét Z, ahol Y és Z vektorok egyedileg vannak meghatározva. Az y vektor az úgynevezett merőleges vetülete X és számmal jelölünk W, és a z vektor - ortogonális a vektor komponense x, és jelöljük. Módjairól építési merőleges vetülete és merőleges komponens fogja hívni a 2.6.
Bizonyítás. Alkalmazása Következmény 2.4, megkapjuk. Legyen x - tetszőleges vektor W. Ami a véletlen vektor belső szorzata (x, y) = 0 ,. Ez azt mutatja, a befogadás, amelynek alapján, a megfelelő méreteket származik egyenlőséget.
Hagyja, hogy a bázis W z vektor tartozik ortogonális kiegészítője W akkor és csak akkor, ...,. Hagyja alapján V. A koordináták, ezek az egyenletek átalakítják egy lineáris egyenletrendszer. Véve W ortogonális kiegészíti azt, megkapjuk a következő eredményt.
Az ingatlan 2.6. Bármilyen altér megadható egy lineáris homogén egyenletek.
Ha ortonormált bázis, együtthatók az ismeretlenek a lineáris egyenletrendszer a koordinátái alapján vektorok ortogonális kiegészítője.