Népszerű előadások matematika könyvek

A. A. Bolibruh. Hilbert probléma (100 évvel később)

Hilbert hetedik probléma

Térjünk vissza a részhalmazát a számegyenesen. Tekintsük a lánc ismét
.
Már bizonyított, hogy a valós számok „nagyobb”, mint a racionális, mert megszámlálható és megszámlálhatatlan ---. Így vannak irracionális (nem racionális) valós számok. (Tény, hogy az irracionális számok „sokkal”, mint a racionális, és ha véletlenszerűen dobja egy pont a számegyenesen, akkor szinte biztosan beleesik a irracionális szám.)

Megjegyezzük, hogy beláttuk a tétel a létezését irracionális számok, bemutatása nélkül bármilyen irracionális.

De nem nehéz idézni példát irracionális szám, például ez. Valóban, tegyük fel, hogy ez a szám racionális. Akkor is képviselteti magát egy kiküszöbölhetetlen frakció:
=
ahol p és q --- egész szám, nincs közös osztója (kivéve 1). A figyelem ezt az egyenletet a négyzet, megkapjuk
2q 2 = P 2.
Ennélfogva, p 2 még, p * p osztható 2. Ezért p osztható 2. olyan, p 2 osztható 4. (Ha p = 2p1. Ezután p 2 = 4p1 2.) Ezután,
2q 2 = 4p1 2
q 2 = 2p1 2.
Ez azt jelenti, hogy a Q 2 osztható 2. Ezért, és q értéke osztható 2.

Van, hogy a p. és q osztva 2, és a frakciót lehet csökkenteni 2. De azt feltételeztük, hogy ez a rész nem csökkenthető! Az ellentmondás azt jelenti, hogy a két nem lehet racionális szám.

Tehát --- irracionális szám.

Természetesen, ha azt bizonyította irracionális számokat, ezzel ismét bizonyította a tétel a létezését irracionális számok. Vannak azonban olyan osztályok számát, létezésének bizonyítása ami sokkal könnyebb, mint építeni egy konkrét példát.

Algebrai és transzcendens számok

A készlet az algebrai számok betűvel jelöljük.

Könnyen belátható, hogy minden racionális szám algebrai. Valóban, a gyökér az egyenlet --- QX-p = 0 egész együtthatós a1 = q és a0 = -p. Szóval

Azonban nem minden algebrai racionális szám, például a szám egy gyökere az egyenlet -2 x 2 = 0. Ezért --- algebrai.

Sokáig maradt megoldatlan fontos matematikai kérdés: Vannak-e olyan nem-algebrai valós számok? Csak 1844-ben, Liouville 1 az első alkalommal adta a példát a transzcendens (azaz. E. Non-algebrai) számokat.

Az építőiparban ez a szám, és bizonyítéka annak transzcendencia nagyon összetett. Annak bizonyítására, a tétel a létezését transzcendens számok is sokkal könnyebb, segítségével okokból az egyenértékűség és nem egyenértékűségének számsorral.

Nevezetesen, azt bizonyítja, hogy a beállított algebrai számok megszámlálható. Aztán, ahogy a készlet minden valós számok megszámlálhatatlan hozunk létre a létezését nem algebrai számokat.

Készítünk egy-egy levelezés egy részét, és. Ez azt jelenti, hogy a tanfolyam --- vagy megszámlálható. De ettől. A végtelen, ezért megszámlálható.

Let - egy algebrai. Tekintsük egész együtthatós polinomok, ami a gyökere, és válassza közülük Pminimalnoy polinom foka (m. E. nem lesz gyökere egy egész együtthatós polinom kisebb mértékben).

Például a menedzsment a polinom foka 1 és --- számának mértéke 2.

Osztjuk az összes polinom együtthatóit P a legnagyobb közös osztó. Kapunk egy polinom, amelynek együtthatóit relatív prímek együtt (a legnagyobb közös osztó 1). Végül, ha egy idősebb együttható negatív, megszorozzuk az összes polinom együtthatóit -1.

Az eredményül kapott polinom (azaz. E. A egész együtthatós polinom, amelynek gyökere az a szám, amelynek a lehető legkisebb mértékben, relatív prím Sr. együtthatók és pozitív együtthatót) a minimális polinom formák.

Be tudjuk bizonyítani, hogy egy polinom egyértelműen meghatározzák: minden algebrai egyenletnek pontosan egy minimális polinom.

A legtöbb valós gyökerei a polinom nem nagyobb, mint a hatalmát. Tehát, lehet számozni (pl emelkedő) minden gyökerei a polinom.

Most minden algebrai teljesen határozza meg a minimális polinom (azaz egy sor együtthatók ..) és egy szám, ami különbözik a többi gyökerei a polinom:
(A0, A1. An-1, egy, k).

Szóval, minden algebrai mi jár egy véges halmaza egészek, és ez meg az egyedi visszanyert (azaz. E. Különböző számok megfelelnek a különböző készletek).

Mi létszáma emelkedő sorrendben prímszámok (ez nem nehéz belátni, hogy végtelen sok). Kapunk egy végtelen sorozata k>. p1 = 2. p2 = 3. p3 = 5. p4 = 7. Most az egész számok (a0, a1. An-1, egy, k) lehet társítva a termék

(Ez a szám pozitív és racionális, de nem mindig pozitív, mert a számok a0. A1. An-1. Lehet negatív). Megjegyzendő, hogy ez a szám nem csökkenthető frakció, mert az elsődleges tényező bővítése a számláló és a nevező különböző. Megjegyezzük továbbá, hogy a két irreducibilis frakciók pozitív számláló és a nevező egyenlő akkor, ha azok számláló egyenlő, és a nevezők egyenlő.

Nézzük az összetett feltérképezése:
(A0, A1. An-1, egy, k) =
Mivel a különböző algebrai számok, már jár egy sor különböző egész számok, és különböző --- különböző racionális számokat, akkor az így létrehozott egy az egyhez megfelelés a monitor és egy részhalmaza. Ezért a készlet algebrai számok megszámlálható.

Mivel a valós számok halmazán a megszámlálhatatlan, már bizonyította a létezését nem algebrai számokat.

Az azonban, hogy a tétel nem határozza meg, hogyan kell meghatározni, hogy egy adott algebrai. És ez a kérdés néha nagyon fontos a matematika.

1882-ben, a német matematikus Lindemann 2 kimutatta, hogy a szám transzcendens. Ebből azonnal következik, hogy lehetetlen megoldani az egyik a híres problémák ókorban.

Ezek a célkitűzések három: a duplázó kocka, a harmad a szög és a kör négyszögesítése. Ők próbálták megoldani, még a görög matematika.

A probléma a kör négyszögesítése van kruga.Na síkon. Segítségével egy vonalzó és iránytű építésére négyzet, amelynek területe egyenlő a négyzet ebbe a körbe.

Legyen egy kör sugara 1 m. E. megadott intervallum hosszának 1. A terület a kör, azonban kívánt négyzet konstrukció csökkenti az építési hossza a szegmens.

Ezután használjuk az ismert geometriai tény: ha olyan intervallum hossza 1, akkor a segítségével egy vonalzó és iránytű csak olyan szegmenseket lehet kialakítani, a hossza, amely egy nagyon speciális fajtája. Nevezetesen, a számok lehetnek racionális számok alkalmazásából származóan kapott négyzetgyök extrakciós, valamint a összeadás és szorzás.

De mindezen számok (nem nehéz bizonyítani) között algebrai, t. E. mindegyikről, akkor össze egy egész együtthatós polinom, amelynek gyökerei ő.

Mivel ez a szám transzcendens és transzcendentális. Ezért, hogy építsenek egy részén hosszúságú vonalzó segítségével és iránytű lehetetlen.

Látod, mint egy megoldást a problémára a számelmélet --- --- transzcendencia szám magában foglalja a megoldás egy geometriai probléma. Ez egy újabb példája a szoros kapcsolat a különböző területeket a matematika.

Hilbert hetedik bonyolult probléma a következő:

Tegyük fel, hogy egy --- algebrai pozitív szám nem egyenlő 1, b --- irracionális algebrai. Bizonyítsuk be, hogy a b száma transzcendens.

1934-ben a szovjet matematikus Gelfond 3 és újabb német matematikus Schneider 4 bizonyította ennek jogosságát, és így a probléma megoldódott.

Létezés tétel

Egyszer, hajnalán fennállása „Quantum” magazin felkérte olvasóit, hogy a következő probléma:

Legyenek a és b --- irracionális számok. Tud-e a számot a b racionális?

Természetesen a feladat megoldására Hilbert hetedik probléma nem nehéz. Tény, hogy a száma transzcendentális --- (--- algebrai irracionális szám). De minden racionális számok algebrai, így --- irracionális. Másrészt,
() = * = 2 = 2.

Tehát csak bemutatott számok: a =. b =. Azonban ez a probléma is megoldható való hivatkozás nélkül az eredmény Gelfond. Az olvasók körében talált egy diák, aki nem tudja, mi a hetedik problémáját Hilbert, de küldött egy feltűnően szép megoldás. Úgy okoskodott a következő: „Tekintsük a számot, ha ez egy racionális szám, akkor a probléma megoldódott, a és b megtalálható, ha irracionális, akkor veszünk a = b = és b = () = 2 .....”

Tehát a hallgató mutatta, két pár a és b számok. oly módon, hogy az egyik ilyen párok megfelel annak a feltételnek, de nem tudom, mi ez. De ahhoz, hogy egy pár, és nem kell! Így ez egy elegáns megoldás bizonyos értelemben létezését tétel.

1 Zhozef Liuvill (1809-1882) - francia matematikus.

2 Karl Luis Ferdinand Lindeman (1852-1939).

3. Alexander Osipovich Gelfond (1906-1968).

4 Teodor Shnayder (p. 1911).