Nednorodnogo megoldás lineáris egyenletek állandó együtthatós és különleges jobb oldali
Főoldal> oktatóanyagok> Közönséges differenciálegyenletek.> A megoldás az inhomogén lineáris egyenletek állandó együtthatós és különleges jogot chastyu.1.
Megoldás az inhomogén lineáris egyenletek állandó együtthatós és különleges jogot chastyu.1.
Szóval, hogyan lehet megoldani homogén differenciálegyenletek állandó együtthatós, rájöttünk, az előző cikkben. Vegyük azt az esetet, ha a jobb oldalon nem nulla, és néhány speciális formája.
Tekintsük az egyenlet a következő formában:
.
Ezután az oldatot ezen egyenlet két részből áll: a. ahol - az általános megoldás a homogén egyenlet, és - egy bizonyos oldatot az inhomogén egyenlet.
Tegyük fel, hogy a jobb oldalon van. ahol - polinom foka n, akkor az általános formája egy adott oldatban az inhomogén egyenlet: ahol - az általános formája a polinom foka n meghatározatlan együtthatók, s egyenlő a multiplicitása a gyökér a karakterisztikus egyenlet. azaz Ha ez a gyökér nincs jelen, akkor.
A polinom együtthatóit határozzuk meg módszerével meghatározatlan együtthatók behelyettesítése után az eredeti egyenlet.
1. példa.
Found. az általános megoldás az egyenlet használatával a karakterisztikus egyenlet.
majd
Találunk a jobb oldalon az átlag.
A jobb oldali formában van :.
Itt - a polinom az első fokú, mint karakterisztikus egyenlet nem, azaz, .
Aztán egy partikuláris megoldása az inhomogén egyenlet fog kinézni:
Találjuk az első és második deriváltak ezt a funkciót, és tegye be az eredeti egyenletet.
Helyettesítsük az egyenletben:
Azonosítjuk az együtthatók a megfelelő hatáskörét x különböző részein (eljárás meghatározatlan együtthatók:
És az adott oldat formájában:
Összeállítani egy válasz:
válaszolni:
2. példa.
Találunk általános egyenlet megoldása a karakterisztikus egyenlet.
Kaptunk az igazi gyökere sokaságának 2.
majd
Találunk a jobb oldalon az átlag.
A jobb oldali formában van :.
Itt - a polinom foka nulla, mint karakterisztikus egyenlet annyi, mint két, azaz a .
Aztán egy partikuláris megoldása az inhomogén egyenlet fog kinézni.
Találjuk az első és második deriváltak ezt a funkciót, és tegye be az eredeti egyenletet.
Helyettesítsük az egyenletben:
És az adott oldat formájában: