Megoldása polinom és racionális egyenlőtlenségek

Megoldása polinom és racionális egyenlőtlenségeket.

Fogjuk használni kombinációját algebrai és grafikus módszerek megoldására polinom és racionális egyenlőtlenségeket.

polinom egyenlőtlenségek

Mivel egy másodfokú egyenlet felírható formájában AX 2 + bx + c = 0, kvadratikus egyenlőtlenség lehet írott formában ax 2 + bx + c. 0 ahol. Talán. ≤ vagy ≥. Íme néhány példa a tér egyenlőtlenségek:
3x 2 - 2x - 5> 0, (-1/2) x 2 + 4x -7 ≤ 0.
Szögletes egyenlőtlenség az egyik fajta polinom egyenlőtlenségek. További példák a polinom egyenlőtlenségek:
-2x 4 + x 2 - 3 3 - 2x 2> 5x + 7.
Ha egy szimbólum az egyenlőtlenség polinom egyenlőtlenségek helyébe egyenlőségjel formák kapcsolódó egyenlet. Polinom egyenlőtlenségek könnyen megoldható, ha úgy döntött, kötött egyenlet.

1. példa megoldásához: x 3 - x> 0.
Megoldás Azt akarják, hogy megtalálja az összes x értékei, úgy, hogy x 3 - x> 0. lokalizálása érdekében ezeket az értékeket, felhívjuk az f (x) = x 3 -x. Aztán észre, hogy ha a függvény megváltoztatja jele annak grafikon metszi az x tengely. Tehát, hogy megoldja x 3 - x> 0, először oldja meg a társított egyenlet x 3 - x = 0, hogy megtalálja az összes nullák:
x 3 - x = 0
x (x 2 - 1) = 0
x (x + 1) (X - 1) = 0.

Nullák jelentése -1, 0, és 1. Tehát a metszéspontja az x tengely (-1, 0), (0,0) és (1, 0), az alábbiak szerint. Nullák osztani az x-tengely négy időközönként:

Minden x értékek egy előre meghatározott intervallumban mark x 3 - x legyen pozitív vagy negatív. De ahhoz, hogy meghatározzák, milyen úgy döntünk, hogy teszteljék az x értéke az egyes intervallumok, és megtalálja az f (x). Meg tudjuk határozni a jele f (x) minden intervallumban ellenére a függvény grafikonját.

Mivel megoldani x 3 - x> 0, a sor megoldást csak két a négy intervallumok, amelyben a jel az f (x) pozitív. Látjuk, hogy vannak olyan megoldások mnezhestvo (-1, 0), (1, ∞), vagy.

Hogy oldja meg polinom egyenlőtlenségek:
1. Keresse az egyenértékű egyenlőtlenség 0 egyik oldalán.
2. Döntse kapcsolódó algebrai egyenlet.
3. A döntés, hogy szét az x-tengelyt időközönként. Ezután válassza ki a teszt érték minden intervallum, és meghatározza a jel a polinom-onként.
4. Határozza meg az intervallum, amelyre a egyenlőtlenség igaz, és levelet kijelölés intervallum vagy megoldások sokaságát. Beleértve végponti időközönként a sor megoldást, ha egy karakter az egyenlőtlenség ≤ vagy ≥.

2. példa megoldásához: 3x 4 + 10x ≤ 11x 3 + 4.
Kivonva a döntés 11x 3 + 4, alkotunk egyenértékű egyenlőtlenség 3x 4 - 11x 3 + 10x - 4 ≤ 0.

Algebrai megoldás 4 - 11x 3 + 10x - 4 = 0,
. döntés
-1, 2, - √ 2. 2/3, és 2 + √ 2
vagy körülbelül
-1, 0586, 0667, és 3414.
Ezek a számok az x tengely van osztva öt időközönként:
(-∞, -1), (-1, 2 - √ 2), (2 - √ 2. 2/3), (2/3, 2 + √ 2), és a (2 + √ 2. ∞).

Ekkor f (x) = 3x 4 - 11x 3 + 10x - és a 4. és használata a vizsgálati értékeket f (x), definiáljuk a jele f (x) minden intervallumban:

A negatív értékek a függvény időközönként (1, 2 - √ 2) és (2/3, 2 + √ 2). Mivel a jele egyenlőtlenség ≤, mi is a végpontok időközönként a sor megoldást. Sok megoldást
[1, 2 - √ 2] [2/3, 2 + √ 2], vagy a.

Döntetlen a funkció y = 3x 4 - 11x 3 + 10x - 4.

Látjuk, hogy van két nullával pontok -1 és körülbelül 3,414 (2 + √ 2 ≈ 3,414). A következő nullák tartományba esnek [0, 1]. Ezek a nullával (kb) 0586 és 0,667 (2 - √ 2 ≈ 0,586; 2/3 ≈ 0,667).

Majd időközönként megfontolásra: (-∞, -1), (-1, 0,586), (0,586, 0,667), (0,667, 3,414) és (3,414, ∞). Megjegyezzük, a diagramon, ahol a függvény negatív. Aztán, beleértve a megfelelő végpontok, a sor megoldást megközelítőleg
[-1, 0586] [0,667, 3,414], vagy.

racionális egyenlőtlenségek

Néhány egyenlőtlenségek közé racionális kifejezések és függvények. Az ilyen egyenlőtlenségek nevezzük racionális egyenlőtlenségeket. Hogy oldja meg őket, meg kell, hogy néhány módosítást a korábbi módszerrel.

Problémák 3. példa: (x - 3) / (x + 4) ≥ (x + 2) / (X - 5).
Megoldás Először, kivonjuk (x + 2) / (X - 5), hogy az egyenértékű egyenlőtlenség 0 egyik oldalán:
(X - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (X - 5) ≥ 0.

Keresünk az összes x, amelyre jellemző
f (x) = (X - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (X - 5)
nem határoztuk meg 0 vagy annál Ezeket az értékeket az úgynevezett kritikus.
Nézzük a nevező, azt látjuk, hogy nincs definiálva az x = -4 x = 5. Ezután megoldjuk f (x) = 0:
(X - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (X - 5) = 0.
(X + 4) (x - 5) [(X - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (X - 5)] = (x + 4) (x - 5) .0
(X - 5) (X - 3) - (x + 4) (x + 2) = 0
(X 2 - 8x + 15) - (x 2 + 6x + 8) = 0
-14x + 7 = 0
X = 1/2.
Kritikus értékek -4, 1/2 és 5. osztják az x-tengely négy intervallumok:
(-∞, -4), (-4, 1/2), (1/2, 5), és az (5, ∞).

Akkor használjuk vizsgálati értéke határozza meg a jel az f (x) minden intervallumban.


Funkció értékek pozitív a időközönként (- ∞, -4) és (1/2, 5). Mivel f (1/2) = 0, és a jele egyenlőtlenség ≥ tudjuk, hogy 1/2 legyen a különböző megoldásokat. Felhívjuk figyelmét, hogy sem az -4 vagy 5 nem vonatkoznak a különböző f, így azokat nem lehet a megoldás része készlet.
Határozat van beállítva (-∞ -4) [1/2, 5).

rajzol
y = (X - 3) / (x + 4) - (x + 2) / (X - 5).

Azt látjuk, hogy azon a ponton, 0,5 függvény 0.
Majd keresünk érték, ahol a függvény nincs definiálva. Nézzük a nevező x + 4 és X - 5, azt látjuk, hogy a funkció nincs definiálva az x = -4, és X = 5
A kritikus értékeket. y ahol meghatározatlan vagy 0, -4, 5 és 0,5.
A grafikon azt mutatja, ahol az y ahol a pozitív és a negatív. Felhívjuk figyelmét, hogy a 4. és 5. nem lehet a különböző megoldásokat, mivel y nincs definiálva ezeket az értékeket. Azonban, mi is a 0,5, jeleként egyenlőtlenség ≥ és f (0,5) = 0. A készlet megoldások
(-∞, -4) [0,5, 5).

Az alábbiakban - a módszer megoldására racionális egyenlőtlenségeket.

Megoldására racionális egyenlőtlenségek:
1. Keresse egyenértékű egyenlőtlenség 0 az egyik oldalon.
2. Állítsa be a egyenlőtlenség jelképe a jele az egyenlőség és megoldani a kapcsolódó egyenletek. 3. Keresse meg a változók értékét, amelyre rokon a racionális függvény nincs definiálva. 4. A számok a lépések (2) és (3) azok a kritikus értékeket. Használja a kritikus értékeket, amelyek megosztják a vízszintes tengelyt időközönként. Ezután a teszt érték x az egyes intervallumok, hogy meghatározzuk a jel a funkció ebben az intervallumban. 5. Válassza időközönként amelyre az egyenlőtlenség teljesül, és rögzítse az intervallum értéket. Ha a jel az egyenlőtlenség ≤ vagy ≥, majd az oldatot a (2) lépésben be kell építeni a különböző megoldások. Az x, lépésben talált (3), soha nem tartalmazza az oldatban beállított.

Ez jól működik kombinációja az algebrai és grafikus módszerek és megoldások polinom racionális egyenlőtlenségeket. Algebrai módszerek adnak pontos adatokat a kritikus értékek, valamint grafikus módszerek lehetővé teszik, hogy könnyen melyik időközönként kielégíteni.