Mátrixok és determinánsok
Matrix. manipulálása mátrixok
Egy téglalap alakú méretű mátrix m x n egy sor számok mn elrendezett négyszögletes tömb, amely m sorból és n oszlopból. Írunk a mátrix formájában
vagy rövidítve: A = (aij) (i =
). Numbers aij. összetevői a mátrix nevezzük annak elemei; Az első index jelzi a sor számát, és a második - a száma az oszlop. Két mátrix A = (aij) és B = (bij) azonos méretű nevezzük egyenlő, ha azok azonos elemet ugyanazon a helyeken, azaz A = B, ha aij = bij.
Álló mátrixot egyetlen sorban vagy oszlopban, illetőleg az úgynevezett sorvektor vagy oszlop vektort. Oszlop vektorok és sorvektorait csak az úgynevezett vektorok.
A mátrix, amely számos azonosítják azt a számot. A mátrix mérete m x n, amelynek minden eleme nulla, az úgynevezett nullmátrix, jelöljük 0. Az elemek az azonos indexű mátrixot, az elemek a fő diagonális. Ha a sorok száma megegyezik az oszlopok száma a mátrix, azaz m = n, akkor a mátrix nevezzük négyzet a rend n. Négyzetes mátrix, amelynek egyedüli nem zérus eleme a főátlójában nevezzük diagonális mátrixok és írásbeli az alábbiak szerint:
.
Ha az összes elemet AII diagonális mátrix 1, a mátrix az úgynevezett egységet, és jelöljük az F betűvel:
.
A négyzetes mátrix nevezzük háromszög alakú, ha minden elem fölött álló (vagy alatt) a fő diagonális nullával egyenlő. Úgy hívják átültetés matrix transzformáció, amelyben a sorok és oszlopok vannak cserélve a megőrzése a számokat. T jelentése transzponáltját ikonra tetején.
Hagyja, hogy a mátrix (4.1) van megadva. Mi átrendezheti a sorokat oszlopokat. megkapjuk a mátrix
,
amely a transzponáltját mátrix A. Különösen, ha átültetett oszlopon kapott vektort a vektor által vonal és fordítva.
A termék A mátrix által a számok # 955; a mátrix, amelynek elemeit nyert a megfelelő elemek a mátrix által számát megszorozzák a # 955;: # 955; A = ( # 955; aij).
A összeg két mátrixok A = (aij) és B = (bij) az azonos méretű a C mátrix = (CIJ) az azonos méretű, a amelynek az elemeit a képlettel definiált CIJ = aij + bij.
Egy mátrix termék AB a B mátrix határozzák meg, feltételezve, hogy az oszlopok száma a mátrix megegyezik a sorok számát a mátrix Q.
A termék a két mátrixok A = (aij) és B = (BJK), ahol i =
, adott, meghatározott sorrendben AB mátrix C = (CIK), amelynek az elemeit a meghatározott a következő szabály szerint:
Más szóval, a mátrix elemei-termékek meghatározása a következő: az elem i-edik sorának és a K-edik oszlopa a mátrix C összegével egyenlő a termékek elemek i-edik sorának az A mátrix elemeknek megfelelő k-edik oszlopa mátrix V.
Permutációja a számok 1, 2 és n jelentése bármely elrendezése ezek a számok egy bizonyos sorrendben. A elemi algebra bizonyított, hogy a permutációinak számát, amelyek képezhetők n szám egyenlő 12. n = n. Például, a három 1, 2, 3 képezhet 3 = 6 permutációs: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Azt mondják, hogy egy adott permutációs számok i és j alkotják inverzió (zavar), ha i> j azt azonban ezen átrendeződés előtt j, akkor, ha van egy nagyobb számú kisebb költség balra.
Egy permutáció szerint még (vagy páratlan), ha rendre a páros (páratlan) a teljes száma inverzió. Művelet, amellyel az egyik menetben egy másik permutációs egyféle n szám, az úgynevezett helyett n-ed-fokú.
Csere, amely átalakítja egy elem egy másik, rögzítve van két sor közös zárójelben száma elfoglaló azonos helyet ezekben a permutációk nevezzük megfelelő írásbeli és egy alatta a másik. Például, a szimbólum
megjelölésen szubsztitúciós ahol három kapcsolót 4, 1 → 2, 2 → 1 3 → 4. Helyettesítés nevezik még (vagy páratlan), ha a teljes inverziók számától mindkét húrok szubsztitúció a páros (páratlan). Bármilyen permutációja n-ed-fokú lehet írva, mint
,azaz természetes elrendezése számok a felső sorban.
Tegyük fel, hogy adott egy négyzetes mátrix a rend n
Tekintsük az összes lehetséges termék az n elem ennek a mátrixnak hozzák egyenként, és csak az egyik minden sorban és az egyes oszlopok, azaz termékek formájában:
ahol az indexek q1. q2. qn minősül permutációja a számok
1, 2. n. A számos ilyen termékek a számos különböző permutációi n szimbólumok, azaz, egyenlő n-nel. Bejelentkezés a termék (4.4) egyenlő (- 1) q. ahol q - A fordítások számát, a permutációs a második index elemek.
Meghatározója n-edik rendű megfelelő a mátrix (4.3) az úgynevezett algebrai összege n! szempontjából a forma (4.4). szimbólum használható felvétel meghatározó # 8204; A # 8204; =
(Determinánsok vagy determinánsát mátrix).
1. A meghatározó nem változik, ha átültetés.
2. Ha az egyik sort a meghatározó áll nullák determináns nulla.
3. Ha a meghatározó átrendezni két sor, meghatározó változások aláírására.
4. determinánst tartalmazó két azonos sorban eltűnik.
5. Ha minden eleme egy sor determináns szorozni néhány k szám, a determináns maga szorozva k.
6. determináns, amely két arányos vonal nulla.
7. Ha az összes elemet i-edik sorának az determináns kifejezve összeg két kifejezések aij = bj + CJ (j =
), A determináns összegével egyenlő determinánsok, amelyben minden sor, kivéve az i-edik - ugyanaz, mint egy adott meghatározó, és az i-edik sora egyik összetevője áll az elemek bj. egy másik - az elemek cj.
8. determináns nem változik, ha az elemek az egyik vonalak adunk megfelelő elemeivel egy másik sorban szorozva ugyanazt a számot.
Megjegyzés. Minden tulajdonság érvényben marad, ha ahelyett, hogy húrok az oszlopokat.
Kisebb Mij elem aij D determináns N-ed rendű az a meghatározó a rend n-1, amely nyert d törlése a sor és oszlop, amely az aktív elemet.
A kofaktor a aij meghatározó d elem nevezzük annak csekély Mij. venni a megjelölés (-1) i + j. Kofaktora aij elem fogja jelölni Aij. Így, Aij = (-1) i + j + Mij.
Módszerek gyakorlati számításának determinánsok a tényen alapul, hogy a determináns a rend n lehet kifejezni determinánsok alacsonyabb adott megbízások az alábbi tétel.
Tétel (bővítése a determináns mentén egy sorban vagy oszlopban).
A meghatározó az összege a termékek valamennyi elemét bármely sorban (vagy oszlopban) által kofaktorokat. Más szavakkal, van egy bomlása d elemei az i-edik sorban
)
vagy j- gostolbtsa
).
Különösen, ha az összes elemet a sor (vagy oszlop), egy kivételével, nullával egyenlő, a meghatározó az, hogy elem szorozva kofaktora.
Tekintsük derékszögű mátrix (4.1). Ha ez a mátrix önkényesen kiosztani k sorral és k oszlopok, az elemek álló metszéspontjában a kiválasztott sor és oszlop alkot egy négyzetes mátrix a k-adik érdekében. A meghatározó ennek a mátrixnak nevezzük egy kisebb K-edik rendű a mátrix A. Nyilvánvaló, hogy az A mátrix van kiskorúak bármilyen sorrendben 1-től a legkisebb a számok m és n. Az összes nem nulla kiskorúak A mátrix, van legalább egy kisebb, a sorrendben melyik lesz a legnagyobb. A legnagyobb a megrendelések a kiskorúak a mátrix, nullától eltérő, az úgynevezett a rangot a mátrixban. Ha a rangot A jelentése azonos az r, akkor ez azt jelenti, hogy az A mátrix nem nulla kisebb rend r, de minden kisebb rend nagyobb, mint r, nulla. A rangsorban a mátrix jelöli R (A). Nyilvánvaló, hogy a kapcsolat
0 ≤ r (A) ≤ min (m, n).
A rangsorban a mátrixban vagy kiskorúak halogénatommal, vagy elemi transzformációk. Kiszámításakor a rangsorban az első módszert kell váltani az alacsonyabb rendű a kiskorúakra kiskorúak magasabb rendű. Ha már talált Minor D k-edik rendű A mátrix, egy nem nulla, akkor szükségessé számítás csak fiatalkorúak (k + 1) -edik érdekében szegélyeket Minor D, azaz a tartalmú, mint egy kisebb. Ha ezek mind nullával egyenlő, akkor a rang k-val egyenlő.
Elementary úgynevezett következő transzformációs mátrix:
1) permutáció bármelyik két sor (vagy oszlop)
2) szaporodását sorban (vagy oszlopban) egy nem nulla szám,
3) kívül egy sor (vagy oszlop) a másik sor (vagy oszlop) számmal szorzódik.
Két mátrix egyenértékű, ha az egyik nyert a másik egy véges halmaza elemi transzformációk.
Egyenértékű mátrixok általában nem egyenlő, de a soraiban egyenlő. Ha a A és B mátrix egyenértékűek, akkor meg van írva, mint: A
Kanonikus mátrix egy olyan mátrixkészítmény, amelyben az elején
fő átlós sorban pár egység (amelyek száma
Ez lehet nulla), és az összes többi elem nulla,
.
Elemi transzformációk sorok és oszlopok bármely mátrix lehet csökkenteni kanonikus. Rang kanonikus mátrix megegyezik az egységek száma a főátlójában.
4. Az inverz mátrixot
Tekintsük a négyzetes mátrix
.
jelent # 916; = Det A.
A négyzetes mátrix nevezzük nem degenerált vagy nonsingular ha determinánsa nullától eltérő és degenerált, vagy különösen, ha # 916; = 0.
A négyzetes mátrix az úgynevezett inverz négyzetes mátrix a ugyanabban a sorrendben, ha a termék A = B A = E, ahol E - az identitás mátrix ugyanolyan nagyságrendű, mint a mátrix és B
Tétel. Ahhoz, hogy az A mátrix volt visszamenőleges, szükséges és elégséges, hogy a determináns lehet nullától eltérő.
Az inverz mátrix, jele A -1. úgy, hogy a B = A-1. Az inverz mátrixot képlettel számítottuk ki
ahol Aij - Szóba jöhető elemek aij.
Számítása a fordított mátrixba képletű (4.5) a magasabb rendű mátrixok nagyon nehéz, így a gyakorlatban célszerű, hogy megtalálja egy inverz mátrixot módszerével elemi transzformációk (VC). Bármely nem-szinguláris mátrix által EPO vezethet csak az identitás mátrix oszlopait (vagy sorait csak) E. Ha elkövetett fenti mátrix A VC ugyanolyan módon, mint az egységre alkalmazott mátrix E, az eredmény az lesz a fordított mátrixba. Célszerű, hogy végre EP mátrixok A és E egyidejűleg felvétel egyaránt a mátrix közelében át a vonalat. Megjegyezzük továbbá, hogy ha megtalálja a kanonikus alakban a mátrix annak érdekében, hogy megtalálják a rangsorban használhatja átalakulások a sorok és oszlopok. Ha szeretné megtalálni az inverz mátrix, csak a sorok vagy csak az oszlopok kell használni az átalakítási folyamat során.