i kiegészítő
Láttuk a 12. §, hogy tetszőleges n egész funkció cos N (ív cos X) meghatározni [-1, 1] ezen szegmens egybeesik a polinom foka n. Ezek polinomok nevezik Csebisev polinomok, nevét a nagy magyar matematikus, és jelöljük Tn (x). Az eredmények szerint a kapott a 12. §, van:
Ebben a függelékben, megbeszéljük néhány figyelemre méltó tulajdonságait a Csebisev polinomok. Mi ebből a kiújulás képlet, hogy egymás után kiszámítja a Csebisev polinomok.
Chebyshev Pafnutiy Lvovich
Állítsa be a trigonometrikus képlet:
cos (# 945 + # 946) = 2 cos # 945; kötözősaláta # 946; - cos (# 945 - # 946;); # 945; = N # 966 ;; # 946; = # 966;,
cos (n + 1) # 966; = 2 COSN # 966; kötözősaláta # 966; - cos (n - 1) # 966;.
hívő # 966; = Arc cos X, van:
Figyelembe véve, hogy
* (T0 (x) = 1, mivel cos (0 ív sin x) = cos 0 = 1)
A képlet (1), kapjuk;
Mi értékének meghatározásához az együttható egy polinom x n Tn. Ez könnyen belátható, hogy ez a faktor 2 n-1. Megmutatjuk, ezt teljes indukció. Tény, hogy a kijelentés igaz a polinom Tn. Tegyük fel, hogy a Tn e polinom együttható egyenlő 2 n-1. Ezután a kiújulás (I), azt látjuk, hogy az együttható az x n + 1, Tn + 1, a polinom 2 n. Ezért az érvényességét az állítás bármely pozitív egész szám értéke n.
Mint minden polinom foka, n, n Tn gyökerei; azt mutatják, hogy ezek a gyökerek érvényesek és elhelyezkedik intervallum (-1, 1). Tény, hogy az intervallum (-1, 1), van
ahol k - bármilyen egész szám.
Felhelyezése k értéke 1, 2, 3 n, azt kapjuk, n gyökerek Tn (x). Ezek a gyökerek összhangban k értéke jelöljük: x1. x2. xk. xn.
Csatolása k egész számok eltérő venni, mi nem kapjuk más gyökerek de nem talált. Tény:
Az értékek x1. x2. xn egyszerű gyökerei Tn (x), mivel egyik sem egyenlő. A konstrukció Tn gyökerei a következőképpen kell eljárni: osztják félkör sugara megegyezik 2n darabokra felsorolni pontok Division a jelzett irányba, az 58. ábrán, és vegye figyelembe az A pont legközelebb a B pont az abszcisszán 1. Azután, kezdve a pont, megtervezik hogy az intervallum [-1, 1] keresztül egy osztás pontot (ábra. 58). Nyert a vetületi pontjához a kép, és a geometriai gyökerei Tn (x)
Ha az x értékét rejlik intervallumban [- 1, 1], majd a (definíció szerint) értékei Csebisev polinomok vannak zárva ugyanabban a szegmensben:
Definiáljuk x értékei intervallumon [-1, 1], amelyekre Tn (x) = ± 1; mivel Tn (x) = cos (n íves cos x), majd a
Tn (x) = 1, ha n ív cos x = 2kπ;
Tn (x) = -1, ha n ív cos x = (2k + 1) π.