Előadás január 2
úgynevezett közvetlen Fourier-transzformáció. körfrekvencia funkció # 150; Ez az úgynevezett Fourier-kép vagy a frekvenciatartomány a funkciók. Spektrum jellemzi aránya amplitúdója és fázisa a végtelen sok végtelenül kicsi szinuszos összetevők alkotó összege jel periodikus. Működése a Fourier transzformációs matematikailag írva a következő:
ahol - a jelképe a közvetlen Fourier-transzformáció.
A spektrumokat az automatikus szabályozás elmélet grafikusan ábrázoljuk, hogy a külön a valós és képzetes része:
Ábra. Az 1. ábrán egy jellegzetes képét nem periodikus jel spektrumát.
Megjegyezzük, a következő funkciókat a spektrum nem periodikus függvények:
A spektrum a nem periodikus idő függvény folytonos;
FIELD megengedhető tartomány értékeit az érvelés
Az igazi része a spektrum # 150; egy még a frekvencia függvényében, a képzetes része a spektrum # 150; páratlan funkcióval, amely lehetővé teszi a használatát fele a spektrum
A Fourier-transzformáció megfordítható, azaz, ismerve a Fourier kép, akkor meg az eredeti funkciója # 150; eredeti. Az arány az inverz Fourier-transzformáció a formája:
vagy rövidített, ahol - a szimbólum inverz Fourier-transzformáció. Vegyük észre, hogy az idő funkció a Fourier-transzformáció akkor és csak akkor, ha:
egyértékű függvény egy véges számú maximumok, minimumok és folytonossági;
funkció teljesen integrálható, azaz
Az inverz Fourier-transzformáció csak akkor lehetséges, ha az összes pólus - balra.
Vegyük példaként a meghatározása a spektrum az idő funkciókat.
Találunk a frekvenciatartomány a delta függvény.
Ennek eredményeként egyetlen, egységes és független a frekvenciától érvényes tartományon, és képzetes része a spektrum lesz egyenlő nullával (lásd. 2. ábra).
Találunk a frekvenciatartomány az egység lépés funkciót.
Ez a funkció nem teljesül az a követelmény abszolút integrálhatóság a
Ezért a Fourier-image nem.
úgynevezett közvetlen Laplace-transzformáció. Komplex változó nevezik Laplace operátor, ahol - körfrekvencia, - pozitív konstans. A funkció a komplex változó nevezik Laplace képjel. Működést meghatározó az eredeti képpel kerül rögzítésre, rövidítve - ahol - a szimbólum közvetlen Laplace-transzformáció.
A Laplace-transzformáció megfordítható, azaz, ismerve a kép a Laplace-transzformáció, akkor lehet meghatározni, az eredeti, a fordított átváltási arány
vagy ha - a jelképe az inverz Laplace transzformáció.
Megjegyezzük, hogy a Laplace transzformáció az eredeti funkciója csak akkor, ha és amennyiben a viselkedését a kezdeti funkció nem befolyásolja a kép. Az osztály műveleteit, hogy lehet transzformálni Laplace, sokkal szélesebb osztálya funkciók átalakítják Fourier. Gyakorlatilag bármilyen idő függvényében Tau Laplace át.
Kapjuk képek Laplace impulzus funkciókat.
A gyakorlatban, elvégzésére a direkt és inverz Laplace transzformációk konverziós táblázatot használjuk, egy töredéke, amely táblázatban látható. 1.
Laplace konverziós táblázat is használható, hogy meghatározzuk a Fourier képe teljesen integrálható függvények, melyek 0 címen. Fourier kép ebben az esetben elegendő, hogy a kép a Laplace. Általánosságban elmondható, hogy úgy néz ki,
Tekintsük a alapkészítményhez a Laplace-transzformáció tétel, hogy széles körben használják a TAU.
Tétel linearitás. Bármely lineáris összefüggés van a időfüggvény a valóságnak megfelelő képet Laplace ezeket a funkciókat;
A tétel a differenciálás az eredeti.
ahol - a kezdeti értéke az eredeti.
Ahhoz, hogy a kifejezést a második derivált
A származékot sorrendben a következő összefüggést:
A származékot sorrendben nulla kezdeti feltételek, a következő összefüggés áll fenn:
azaz a differenciálódási fokának az eredeti idő megfelel szorzást a kép nulla kezdeti feltételek mellett.
A tétel az integráció az eredeti.
A kép a Laplace összetett műveletek differenciálódás és integráció csökken a szorzás és osztás műveletek, amely lehetővé teszi, hogy váltani differenciális és integrális egyenletek algebrai egyenletek. Ez a fő előnye, hogy a Laplace-transzformáció, mint a matematikai eszközök kontroll elmélet.
késedelem tétel. Mert minden igazi kapcsolat
Konvolúciós tétel (megszorozzuk kép).
A tétel a határértékeket. Ha, akkor
Ahhoz, hogy megtalálja az eredeti funkciót a képet inverz Laplace-transzformáció. képben funkció jelen kell lennie formájában Hevisayta segítségével a szükséges képletek bomlását egy racionális függvény. Az így kapott összeget a részleges frakciók vetjük alá inverz Laplace át. Használhatja a táblázatokat a Laplace-transzformáció, amelyek meghatározzák a kép sok idő függvények. Fragment Laplace átváltási táblázat táblázatban látható. 1. Abban az esetben, ahol komplex-konjugált oszlopok a kép, meg kell átalakítani egyszerű megfelelő frakciókat alkalmas formában a használata a Laplace át asztalra. Nagyban megkönnyíti az átalakítás a használata a személyi számítógép csomagok matematikai programok funkcióit direkt és inverz Laplace transzformáció.
Mi határozza meg az eredetit a kép formájában racionális függvény
Az expanzió Hevisayta racionális függvény egy zéró pole. majd
A tágulási együtthatók az űrlap
A fényképek alakú Hevisayta formában van
A tétel a linearitás és a konverziós táblázatot, hogy minden távon, az eredmény
Graph eredeti függvény a ábrán bemutatott formában. 3.
Rövid magyarázata egy algoritmus megoldására differenciálegyenletek szereplő eljárással, például oldatok a differenciálegyenlet rend 2 az általános formája
Alkalmazzuk a tételt az differenciálódása képek megtalálása származékok
Kapjuk az üzemeltető egyenlet a lineáris elmélet
Egyenlet megoldását illetően,
Találunk, az átmenet formájában Hevisayta (bomlás Hevisayta)
Különös figyelmet kell fordítani a kép a származék az egység lépés funkciót, amely a következőképpen definiálható:
kiderül, a rossz döntés, ezért használja a „bal” a kezdeti feltételek
Az igazság az e könnyen ellenőrizhető helyettesítésével a megoldások az eredeti differenciálegyenlet.
Ellenőrző kérdések és feladatok
Milyen korlátozások vonatkoznak a direkt és inverz Fourier-transzformáció?
Mint Laplace konverziós táblákat szerezni frekvenciatartomány a valós jel # 150; nem periodikus idő függvényében?
Ha a kép a Laplace-transzformáció formájában van racionális függvénye a forma, amelyben ez sokkal kényelmesebb, hogy képviselje az eredeti formában vagy alakban Bode Hevisayta?
Határozza meg az eredeti kép következő Laplace
Határozza meg az eredeti kép következő Laplace