Egyszerű és összetett számok
Prime és összetett számok
Definíció. A pozitív egész nevezzük elsődleges, ha pontosan két pozitív osztója - egy és magát a számot.
Definíció. Természetes szám, amely pozitív osztója eltérő egységét és magát a számot, az úgynevezett vegyületet.
Egyértelmű, hogy minden pozitív egész szám nagyobb egynél, prím vagy összetett.
Másrészt, bármely természetes szám n> 1 A számok n + 1, n + 2, ..., n. - 1 prímszám.
Valóban, ha a szám n + 1, n + 2, ..., n. - 2 komponens, mind az osztók kisebb vagy egyenlő n-nel. A n szám. - 1 osztható 2, 3, ..., n. Ha ez osztható az egyik szám n + 1, n + 2, ..., n. - 2, akkor kell osztani, és a szám kisebb vagy egyenlő n-nel. Így, n. - 1 nem osztható semmilyen kisebb szám nagyobb, mint 1. Ezért, n. - 1 - egyszerű.
A legfontosabb eredmények terén elosztása prímszám L. Euler, PL Csebisev és Hadamard.
Euler-tétel kimondja, hogy az arányt egyszerû egész nem haladja meg a n. hogy a legnagyobb számú n nullára amint n végtelenhez közelít.
Csebisev-tétel és Euler-tétel Hadamard adja. Különösen Hadamard tétel (1894) megállapítja, hogy a szám prímszámok nem haladja meg a n. Úgy látszik, hogy végtelenig, valamint az aránya
Évszázadokon kértek formulákat találni prímszám. Sokan kérik, hogy új prímszám. Egyikük a francia matematikus M. Mersenne (1588-1648), aki kereste a prímszámok formájában 2 p 1 és akinek tiszteletére ezek a számok az úgynevezett Mersenne prím.
Vegye figyelembe, hogy a számok a forma egy - 1, ahol egy - egy természetes szám nagyobb, mint 2, nem egyszerű. Ez következik a képlet
amely bebizonyította, hogy megszorozzuk a kifejezést zárójelben.
Jelenleg 47 ismert Mersenne prím. Az utolsó 47-én M42643801 van 12837064 számjegy.
Mersenne számok közvetlen kapcsolatban vannak a tökéletes szám - azok, amelyek összege minden osztója (beleértve 1, de kizárva magát a számot). Tökéletes számok ismertek voltak az ókori Görögországban. Ezek nagy tekintélyű, modellként a harmónia és a szépség. Tulajdonítottak misztikus tulajdonságokkal.
A legkisebb tökéletes szám az a szám 6 = 1 + 2 + 3 Ezt követi száma 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, akkor a szám 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 .
A kapcsolat a tökéletes számok és Mersenne prím talált Euclid.
Tétel. Ha Op = 2 p - 1 - Mersenne prime, száma 1 2 p- (2 p - 1) tökéletes.
Bizonyítás. Írunk osztói az 1, 2 p Mp. kisebb számban az 1, 2, 2 2 ... 2 p 1 Mp. 2MP. Február 2 Mp. ... 2 p 2 Mp. Kiszámítjuk az összeget. van
Euler bizonyította, hogy a számok a forma 2 p 1 (2 p - 1), ahol 2 p - 1 - Mersenne prím, kimerítettek minden páros tökéletes számok. Jelenleg ismert 47 páros tökéletes számok. Nem ismert, végtelen számú ilyen számokat, vagy sem. Az a kérdés, hogy létezik a páratlan tökéletes számok is nyitva marad.
Vegyünk egy másik típusú beírt számok a francia matematikus Fermat (1601-1665). Ez a fajok száma. 2. mutató n készítették nem véletlenül. Megmutatjuk, hogy a számok a forma 2 m +1 lehet egyszerű csak abban az esetben, ha m = 2 n. Ehhez használja a képlet
amely bizonyítja közvetlen szaporodása zárójelbe. Ebből az következik, hogy számos formájában 2 k +1 +1 alatt természetes K és a> 1 elválaszthatatlan. Ha m páratlan elválasztó, azaz m = l (2k + 1), 2 m + 1 = 2 l (2 k + 1) + 1 = (2 l) 2 k +1 +1 - egy összetett szám.
Farm feltételezzük, hogy minden szám a forma egyszerű. Valóban, az első öt Fermat szám F0 = 3; F1 = = 5; F2 = = 17; F3 = = 257; F4 = = 65537 egyszerűek. Azonban Euler bizonyította, hogy a következő szám egy összetett Fermat F5 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417.
Ez még nem ismert, hogy a többi prímszám létezik Farm. Ugyancsak ismeretlen vagy nem végtelen sok összetett Fermat számokat.
Gazdaságok száma a problémához kapcsolódó építési szabályos sokszögek egy vonalzó és iránytű.
Még az ókori görögök is részt vesz az építési szabályos sokszögek. Képesek voltak építeni -gons 2 n 3 2 n -gons 5 -gons 2 n 15 2 n -gons.
A végső döntést, amely szabályos sokszög lehet kialakítani az uralkodó és iránytű kaptuk csak 1796-ban a német matematikus KF Gauss (1777-1855). Bebizonyította, hogy egy szabályos n-szög lehet építeni az uralkodó és iránytű akkor és csak akkor, ha n = 2 MP1 ... pk. ahol a számok p1, ..., pk - különböző prímszám Farm. Különösen, ez a tétel azt jelenti, hogy a derékszögű 7, 9-gon, 11-gon, 13-szög nem lehet kialakítani a vonalzó és iránytű.
Feladatok.
Bizonyítsuk be, hogy az 1001 - összetett.
Bizonyítsuk be, hogy a szám 9991 - összetett.
Igazoljuk, hogy a száma formájában n + 1 8 - komponens.
Bizonyítsuk be, hogy a 2. szám 9 + 12 May - vegyületet.
Igazoljuk, hogy a számot + 222 555 555 222 - egy összetett.
Igazoljuk, hogy a száma formájában n + 4 4 - vegyület n> 1.
Találd meg az összes prímszám p. amelyre p +, és p + 10 14 - egyszerű.
Találd meg az összes prímszám p. amelyekre 2p + 1 és 4p + 1 - egyszerű.
Találd meg az összes prímszám p. amely 8P 2 + 1 - egyszerű.
Találd meg az összes prímszám p. 2, amely 4P és 6P + 1 2 + 1 - egyszerű.
A számok p és p 2 2 - egyszerű. Bizonyítsuk be, hogy p 3 + 2 - egyszerű.
Határozzuk meg minden pozitív egész n. amelyben 2 n - 1 és n + 1 2 - egyszerű.
1. M. Gardner matematikai úton. - Mir 1972.
2. M. Gardner Matematikai újszerű. - Mir 1974.