Az excentricitás az ellipszis és az igazgatónő és túlzásokba

Tekintsük hiperbola (1). Neki. mert . Emlékezve arra, hogy. Kapunk. Azt vizsgálja, hogyan változik az alakja egy hiperbola függően különcség. Mi rögzíti a féltengely. Ha. akkor. azaz túlzó nagyon szűk. A növekvő és egyre növekszik. azaz hiperbola ága expandált (lásd. ábra. 3.9). Ha. akkor. azaz túlzó megjelenést közel egy pár párhuzamos vonalak.

Tekintsük most egy ellipszis (2). Számára. mert . Egy ellipszis (2)

Ris.3.9. így van. Azt vizsgálja, hogyan változik az alakja ellipszis szerint a különcség. Ismét rögzítse a tengely. Amikor megkapjuk. és az ellipszis fajul egy kört. A növekedés a félig tengelye csökken, ellipszis „vékonyabb”, és ha. akkor. azaz ellipszis egyáltalán hajlamos viszont egy szegmens (3.10 ábra).

Most vissza az igazgatónő. Mivel a hiperbola (1). és az ellipszis (2). Ábra. 3.10

majd a túlzó. és az ellipszis. Ez azt jelenti, hogy az igazgatónő és túlzásokba, és azok igazgatónő ellipszis görbe nem metszi egymást. Továbbá, a direktrix és a megfelelő hangsúly görbe vannak elválasztva egymástól (ábra. 3.11 és 3.12).

Tétel (alapvető tulajdonsága az ellipszis és a hiperbola képest direktrixét). Minden pont a hiperbola (elliptikus) arány a fókusztávolságot és a távolság megfelelő fókuszpontja direktrixét egy állandó szám megegyezik az excentricitás a hiperbola (ellipszis). Ezzel szemben, ha tartozik hiperbola (ellipszis), bármely pont távolság aránya egy előre meghatározott síkban a hangsúly a hiperbola (ellipszis), amely megfelel a távolság a fókuszpontja direktrixét egyenlő egy előre meghatározott excentricitás hiperbola (elliptikus), akkor ezen a ponton.

►Dokazhem jóváhagyást a bal és jobb fókusz igazgatónő túlzások (1) (más esetekben akkor bizonyítani, hogy egyedül egy gyakorlat). Ábra. 3.13 kifejezések a következő koordinátákat :. . . majd

Ezekből két egyenlet és szerezzen:

Lássuk be ennek az ellenkezője. Tegyük fel, hogy egy pont síkban megfelel az összefüggést:

Ettől. a. az

Tekintettel arra, hogy. Kapjuk az utolsó egyenletet. Így, az a pont megfelel egy adott hiperbola. ◄

tudjuk megfogalmazni egy közös definíció az ellipszis, hiperbola és parabola alapján a fenti tétel.

Definíció. Hiperbola (ellipszis, parabola) a pontok halmaza a síkban, amelyek mindegyikére az arány a távolság, hogy egy előre meghatározott ponton, hogy a távolság, hogy az adott sorban ebben a síkban van egy konstans számú egyenlő e, sőt e> 1 (e <1, e = 1).

A poláregyenlet ellipszis, parabola és a hiperbola

Polár koordinátarendszerben

Válasszon egy tetszőleges pontot a síkon O. pólus, amely fogják hívni, és felhívni egy sugár a ponton, amelyet az úgynevezett sarki tengely. Minden pont a sík is társult a megrendelt számpár. ahol - a távolság a pólus, és - közötti szög a sarki tengely és a sugár vektor a pont (3.14 ábra). Megkapjuk a levelezés sokasága között pont a síkon, és egy álló rendezett párokat Valóban ábra. 3.14. számokat. Ha. és vagy. ennek a kapcsolatnak egy-egy a gépen az a pont (a pólus).

Következtetés Poláregyenleteket

Úgy döntünk, az egyik a három görbe - ellipszis, parabola, vagy az egyik ág a hiperbola, és hagyja őt. Polár koordinátarendszerben a következő módon: pólus áll a középpontban (hogy a hangsúly a hiperbola megfelel a kiválasztott ág), és töltse a sarki tengely merőleges direktrixét ennek megfelelő fókuszt irányban tőle. A távolság a fókuszt direktrisyoboznachim. A szám az úgynevezett fokális paraméter a görbe. Ezután (. Ábra 3.15). ;

ahonnan megkapjuk az egyenlet

Ez az egyenlet definiálja ellipszis, parabola, a bal ág a hiperbola, amikor a pólus a bal fókusz, és a jobb lábán, amikor a hangsúly a helyes fókuszt.

Ha a vizsgált görbe - ellipszis, akkor. és (1), hogy a

Ábra 3.15. hogy. Ha a vizsgált görbe - egy parabola, akkor. Abban az esetben, ha figyelembe vesszük, az egyik ág a hiperbola, a pólus a megfelelő fókuszt, hogy megtalálják a meg kell oldani az egyenlőtlenség. vagy. ahonnan találunk. Tehát, az egyik ága egy hiperbola

Ez azt jelenti, hogy bármely ray megjelent a hangsúly az ellipszis metszi az ellipszis; Csak ray megjelent a hangsúly a parabola, és nem lépik át - ez a sarki tengely; és a sugarak által kibocsátott a hangsúly a hiperbola és nem metszi a megfelelő ágat képeznek sarokban.

Exercise. Mutassuk meg, hogy az azonos poláris ellentéte hiperbola egyenlete a következőképpen néz ki: