A véges dimenziós térben
Definíció 7.9. A tér véges, ha ez kifeszített végső vektor rendszer.
Tétel 7.3. Altér véges dimenziós tér - véges.
Bizonyítás. Legyen V - dimenziós térben, W - altér. Definíció szerint, V jelentése egyenes véges borítékot vektor rendszer. Felhívjuk a igazolást a tétel n szerinti teljes indukcióval. Ha n = 1 nyilvánvaló, mivel bármely altér nem tartalmazó nulla vektor ebben az esetben ugyanaz, mint a V. Legyen állítás bizonyult n-1. Megmutatjuk, hogy ez igaz n. Vegye nem nulla vektor, és írd be a lineáris kombináció. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük (egyébként sorolni vektorok). A készlet vektorok képez lineáris altér a héj és az indukciós feltevés, ez a altér véges. Hagyja, hogy a lineáris span vektorok azonos. Mivel a vektorok tartoznak W, akkor a felvétel nyilvánvaló. Let - tetszőleges vektor W. A vektor tartozik a altér, és ezért és kereszteződést. Ábrázoljuk a vektor, mint a lineáris kombinációja vektorok és expresszálják a d (). Így, a beállított kapcsoló, ahonnan, alapján önkényes választás d, vezetjük le egyenlet, azaz W - dimenziós altér.
Legyen V véges dimenziós térben.
Definíció 7.10. Minimális teljes készlet vektorok V nevezzük alapján a teret. A vektorok számát az alapján nevezzük dimenziója teret.
A dimenzió a tér V jelöli dimV.
Következmény 7.7 Az átmérője nem haladja meg a mérete az egész teret. Ha az altér dimenziója egybeesik dimenziója a tér, az altér egybeesik a teret.
Bizonyítás. Legyen W - altér véges dimenziós tér V. Legyen alapján V altér W - véges dimenziós (tétel 7,3), és ezért alapul. Helyett az egyenlőtlenség tétel. Egyenlőség esetén az igazolást a tétel magában foglalja a csere a mérkőzés lineáris hajótestek.
Definíció 7.11. A hôtágulása alap vektorok nevezzük a koordinátákat.
Tétel 7.4. A koordináták bármely vektor létezik, és egyediek.
Bizonyítás. Mivel alapján a teljes rendszer, akkor minden vektortér bővült alapján. Hagyja, hogy a vektor x két különböző és a terjeszkedés alapja. Vonjuk egyik a másikból, megkapjuk az egyenlőség. Tekintettel a lineáris függetlensége alapján vektorok, minden együttható az alap vektorok nullával egyenlő, ami azt jelenti, az azonos bomlás.
vektor koordináták jelölésére a bázis.
Következmény 7.8. Egyenletek ,.
Tétel 7.5. (-Kiegészítő alapon)
Alapján altér véges dimenziós térben lehet terjeszteni a alapján az egész teret ..
Bizonyítás. Legyen W egy altér V. jelöljük alapján W és révén - egy alapot V. A rendszer eltávolítja a vektorok, amelyek lineáris kombinációi előző vektor rendszer. A kapott rendszer lesz az alapja, és ily módon képez egy alapot a tér V. Ezen kívül, vektorok lineárisan független, és nem lehet lineárisan kifejezni az előző vektor rendszer, majd azokat tartalmazza alapján. Sőt, kiderül, hogy a rendszer a vektorok kiegészíti egyes vektorok a bázis V alapját az egész teret.
Tétel 7.6 (dimenziójának összege) Legyen V, W - véges dimenziós altér. Aztán.
Bizonyítás. Jelöljük a tér bázis. Kiegészítés, hogy egy alap vektorok a tér V (azaz - alapon V) alapul, és W - vektorokat (azaz - alapon W). Ez könnyen ellenőrizhető, hogy egybeesik a lineáris span vektorok. Továbbá, a rendszer a vektorok lineárisan függetlenek. Valóban, ha nem, akkor egy lineáris kombinációja ezen vektorok nem nulla együtthatók értéke nulla. Let. A egyenletbe, arra következtethetünk, hogy az y vektor tartozik, V és W. Mivel az y vektor tartozik a kereszteződés, akkor minden (egyedisége miatt a koordináták), ellentétben a lineáris függetlenség a rendszer. Így a rendszer alapját képezi vektorok. Továbbá, van ,, és. Hogy teljes legyen a bizonyíték marad érvényességének ellenőrzése, az egyenlőség.