a polinomok
Definíció. Egytagú a több változó együttható A jelentése kifejeződése formájában. hol. - nem negatív egész szám.
Úgy gondoljuk, hogy. így minden eleme egy olyan egytagú egy adott formában.
Definíció. Egytagú nevezzük hasonló, ha a kitevők ugyanazok.
Az ilyen egytagú adunk a szabály alapján. amely az úgynevezett szabály hasonló kifejezések. Mert egytagú meghatározni és az eredmények megsokszorozása.
Definíció. Polinomja n-ed-fokú az ismeretlen x az összege a fok nem negatív egész nem haladja meg a n. X ismeretlen. együtt néhány numerikus együtthatók, t. e. expresszióját formájában
Annak érdekében, többtagú kifejezések közömbös egytagú és hasonlók is csatlakoztatható a szabály szerint hasonló kifejezések. Record (2.1) az úgynevezett kanonikus formája a polinom. Néha kényelmes, hogy írjon a polinomok növekvő sorrendben a teljesítmény. Polinomok jelöljük. . és t. d.
Let. és. Egytagú nevezik magasabb (vezető) tagja a polinom. és az index - a polinom foka és jelöljük. Zero polinom a legmagasabb tagja abban az értelemben, ez a meghatározás, úgy gondoljuk, hogy ez egyenlő 0. polinom foka tekinthető nullával egyenlő jel.
Definíció. Két polinomok úgynevezett egyenlő (vagy azonosan egyenlő), ha anyaguk a rögzítés azonos kanonikus egytagú azaz akkor és csak akkor, ha. .
Más szóval, az egyenlő polinomok együtthatói ugyanaz az ismeretlen x fok.
Definíció. A összege két polinom nevezett polinomiális kombinálásával nyert egytagú alkotó szempontjából. Egyesítése után annak szükségességét, hogy hasonló feltételek mellett. Így, = + + ... + +.
Definíció. A termék a két polinom egy polinomiális álló művek minden tagja az első tényező, hogy minden tagja a második. Hasonló kifejezések, azt találjuk, hogy =.
Az együttható van. ha feltételezzük, hogy ha és amikor.
Hagyja, hogy a két polinom és adottak. és ahol. Ezután a termék tartalmaz egy nem nulla egytagú, ami magasabb lesz a termék ezen polinomok, mint a többi termék a tagok szempontjából kisebb, mint a mértéke.
Bármely két polinom, és találunk polinomok. hogy
A fok vagy kevesebb mértékben. És polinomok. az említett feltételeket kielégítő (2.2) határozzuk meg egyedileg. A polinom hívják magán. és - a fennmaradó.
Definíció. két nem nulla polinom és tegyük fel, hogy adott. Ha a fennmaradó osztás nullával, akkor a hívott polinom osztó polinom.
Definíció. Ha - polinom. ez az úgynevezett polinom értékét címen.
Tétel. A maradék polinom Division egy lineáris többtagú egyenlő a polinom értékét a.
Bizonyítás. Szerint (2). ahol - .. a polinom foka nulla, azaz állandó. Átadás ebben az egyenlőség értékeinek. Kapjuk. hol. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Példa Példa. Keresse meg a fennmaradó elosztjuk a polinom egy polinom.
Határozat. Szerint a tétel bizonyítása szerint.
Ha polinomok és van egy polinom. hogy. akkor azt mondjuk, hogy a polinom elosztjuk a polinom. Tekintsük a probléma oszthatóság lineáris binomiális. hol.
Tétel (Bezout). Annak érdekében, hogy osztható legyen polinom. szükséges és elégséges.
Bizonyítás. A. szükségessége. Tegyük fel, hogy osztható. t. e .. Aztán. B. Elegendőség. Let. Akkor az egyenletben lesz. t. e .. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Definíció. A szám az úgynevezett gyökér a polinom. if.
Ezt a definíciót Bezout tétel lehet a következőképpen fogalmazott: a polinom hányadosa a binomiális. akkor és csak akkor, ha c gyöke. Így a keresést a gyökerek a polinom egyenértékű meghatározására lineáris osztója.
Példa Példa. Lineáris polinom osztója a polinom?
Határozat. Found. . Ezért nem osztója polinom.
Tétel. Let. Lesz egy polinom és hány olyan, hogy.
Bizonyítás. Arra törekszünk, hogy alkotnak. A egyenlőség = képest az együtthatók kapunk egy lánc egyenlőségek. . . . . egymás után határoztuk meg az együtthatók és a maradékot:
Ez azt bizonyítja, a tétel. Sőt, ez kapott egy nagyon kényelmes módja számítási együtthatók és a maradékot. Ezt a módszert nevezik Horner szabályt.
Példa Példa. Keresse részleges hányados és a maradék elosztjuk a polinom lineáris binomiális.
Határozat. Hozzunk létre egy táblázatot:
Így. Következésképpen ,.
Definíció. Ha. ahol a polinom már nem oszlik. k szám az úgynevezett sokfélesége kornyas a polinom. és a nagyon gyökér - az szeres gyökere a polinom. Ha k = 1, akkor azt mondjuk, hogy a gyökér a hétköznapi.
Tétel. Ha a szám egy szeres gyökere a polinom. majd amikor ez (k-1) szeres gyökere az első derivált a polinom. Ha. akkor nem arra szolgálnak, hogy root.
Bizonyítás. Let. Ebben az esetben. . A kifejezés nem oszlik az első tag. így, a lineáris binomiális nem osztója. t. e. c nem root. Ha. akkor. Az első kifejezés ebben az összegben van osztva. és a második - a. így a - (k-1) szeres a gyökér. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Következmény. Ha a szám egy gyökér. ...,. de ez nem egy gyökér. ebben az esetben - a szeres gyökere a polinom.
Példa Példa. Mi a sok gyökér index 2 polinom?
Határozat. Ha van. Found. ; . Found. ; . A származék harmadik rend :; . így gyökér 2 multiplicitás a polinom 3.