A mozgási energia és a munka forgó mozgás
Tekintsük először a szilárd test körül forgó rögzített tengely OZ szögsebességgel # 969; (5.6 ábra). Osszuk a test elemi tömegek. A lineáris sebesség elemi tömege. ahol - a távolság forgástengelye. A kinetikus energia i i-edik elemi tömege egyenlő lesz
A mozgási energia az egész testet, amelynek tagjai a kinetikus energiáját annak részei, ezért
Tekintettel arra, hogy az összeg a jobb oldalon az egyenlet képviseli a tehetetlenségi nyomaték a forgási tengely, végül megkapjuk
Formula kinetikus energia egy forgó test (5,30) hasonlóak a megfelelő képleteket a kinetikus energia transzlációs mozgás a test. Ezek kapjuk az utolsó hivatalos csere.
Általában, a mozgását egy merev test ábrázolható összegeként mozgás - fordítás sebességgel egyenlő a tömegközéppontja a test sebesség és forgási szögsebesség a pillanatnyi átmenő tengely a tömegközéppont. Ebben az esetben a kifejezés a kinetikus energia a test formáját ölti
Most azt látjuk, a munkát a pillanatban a külső erők, a merev test forgása. Elemi munkát a külső erők idő dt egyenlő a változás kinetikus energia a test
Figyelembe eltérés a kinetikus energiája forgómozgást találunk a növekmény
Összhangban az alapvető egyenlet a dinamika a rotációs mozgás
Mivel ezek a kapcsolatok, adunk kifejezést a formáját munkaegység
ahol - a nyúlvány a kapott pillanatban a külső erők irányába forgástengely OZ, - a forgásszög a test a jelentési időintervallum.
Integrálása (5,31), megkapjuk a képletet a ható külső erők a forgó test
Ha. a formula egyszerűsített
Így, a művelet a külső erők, a szilárd test forgással szemben rögzített tengely által az intézkedés a vetítési pontok ezen erők az adott tengelyen.
Giroszkóp úgynevezett gyorsan forgó szimmetrikus szerv, amelynek forgástengelye megváltoztathatja az irányt a térben. A giroszkóp tengelye válhat szabadon a térben, a giroszkóp kerül egy úgynevezett kardángyűrű (ábra 5.13). Lendkerék giroszkóp körül forgatjuk a belső gyűrű alakú kosár C1 C2 tengellyel. áthaladó annak súlypontja. Belső gyűrű viszont lehet forgatni a külső ketrecben a tengely körül B1, B2. C1 merőleges C2. Végül, a külső gyűrű szabadon tud forogni a csapágyban keret körül az A1 A2 tengellyel. merőleges a tengelyekre C1 és C2 B1 B2. Mind a három tengely egymást metszi egy fix pont O, a központ nevezett felfüggesztése vagy alátámasztási pontja a giroszkóp. A giroszkóp kardángyűrű három szabadsági fok és így tud végezni bármilyen forgatás középpontja körül a szuszpenzió. Ha a giroszkóp szuszpenziót középpontja egybeesik a súlypontja, a kapott pillanat gravitációs minden része a giroszkóp középpontjához viszonyítva a felfüggesztés nulla. Az ilyen giroszkópot kiegyensúlyozottnak mondható.
Nézzük a legfontosabb tulajdonságai a giroszkóp, amit széles körben használatosak a különböző területeken.
Semmilyen giroszkóp kiegyensúlyozott sarkok panel forgástengely irányában változatlan marad a laboratóriumba referenciakeretet. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a pillanat külső erők, egyenlő a súrlódási nyomaték nagyon kicsi, és gyakorlatilag nem okoz változást a impulzusnyomatékhajtómű a giroszkóp, azaz
Mivel perdület mentén irányul forgástengely egy giroszkóp, az orientáció fenn kell tartani változatlan.
Ha egy külső erő hat, egy rövid ideig, az integrál meghatározása a növekmény a perdület kicsi
Tehát, rövid ideig még nagyobb ereje a kiegyensúlyozott mozgás a giroszkóp keveset változik. A giroszkóp hiszen ellenáll minden olyan kísérletet, hogy módosítsa a nagyságát és irányát perdület. Ezzel és a kapcsolódó méltó stabilitást, amely megszerzi giroszkóp mozgása után hozva azt a gyors forgás. Ez giroszkóp tulajdonság széles körben használják, hogy automatikusan mozgásának ellenőrzésére repülőgépek, hajók, rakéták és más eszközök.
Ha a cselekményt sokáig állandó irányt a giroszkóp pillanatban a külső erők, a giroszkóp tengelye van beállítva a végén, az irányt a pillanatban a külső erők. Ezt a jelenséget használják a gyrocompass. Ez a készülék egy giroszkóp, amely szabadon forgatható vízszintes síkban tengelyen. Mivel a napi forgása a Föld és a behatási idejének a centrifugális erők a giroszkóp tengely úgy forgatjuk, hogy a bezárt szög, és lett a minimális (ábra 5.14). Ez megfelel annak a helyzetnek a giroszkóp tengelye a meridián síkja.
2). Pörgettyűs hatása.
Ha tesz egy pár erők, amelyek a forgó giroszkóp. hajlamos forgatni merőleges tengely körül, hogy a forgási tengely körül, akkor ez fog forogni egy harmadik tengely merőleges az első két (ábra 5.15). Ez a szokatlan viselkedés egy giroszkóp nevezték giroszkópos hatás. Ez azzal magyarázható, hogy a pillanatban a két erő irányítja a tengely mentén O1 O1 és idővel változhat az értéke a vektor azonos irányba. Ennek eredményeképpen egy új vektor képest elfordul a tengelye O2 O2. Így, természetellenes első látásra viselkedését a giroszkóp teljes mértékben összhangban van a jogszabályok dinamikája rotációs mozgás
3). Precesszió egy giroszkóp.
giroszkóp precessziós nevezzük kúpos mozgását a tengelye körül. Ez akkor fordul elő, amikor a pillanatban a külső erők, miközben állandó nagyságú, forgatjuk egyidejűleg a giroszkóp tengelye képez vele minden alkalommal derékszög. Annak igazolására, a precesszió szolgálhat a kereket tengely összenőtt megadott gyors forgása (ris.5.16).
Ha a kerék lógni felhalmozódott tengely végére a tengelye kezd előrehalad egy függőleges tengely körül az intézkedés alapján a saját súlyát. Demonstráció a precesszió is gyorsan forog tetején.
Keresse meg az okát a precesszió a giroszkóp. Tekintsük kiegyensúlyozatlan giroszkóp, amelynek tengely szabadon lehet forgatni a körül a pont O (ris.5.16). Abban a pillanatban, gravitációs alkalmazzák a giroszkóp, egyenlő nagyságú
ahol - a tömeg a giroszkóp, - távolság O pont a giroszkóp tömegszázalék, - a szögben, amelyet a függőleges tengelyt a giroszkóp. Vektor irányul merőlegesen egy átmenő függőleges sík a tengelye a giroszkóp.
E nyomaték giroszkóp impulzus (kiindulásként helyezzük D) akkor kap egy időben növekmény. és az átmenő függőleges sík tengelye a giroszkóp, forgatja a szöget. Vector mindig merőlegesen. ezért nem változik a nagysága, a vektor változik csak egy irányba. Ugyanakkor, miután időt és a relatív pozíciója a vektorok ugyanaz lesz, mint a kezdeti időben. Ennek eredményeként a giroszkóp tengelye folyamatosan forgatjuk a függőleges leíró kúp. Ezt a mozgást úgynevezett precesszió.
Határozza meg a szögsebessége precessziós. Szerint ris.5.16 forgásszögének áthaladó síkban a tengelye a kúp és a tengely a giroszkóp, a
ahol - a pillanat giroszkóp pulzus, valamint - a növekmény az idő.
Elosztjuk. a kiválasztott arányok és az átalakulás, megkapjuk a szögsebesség precessziós
Mert giroszkóp használják a mérnöki, a szögsebesség precesszió millió alkalommal kevesebb, mint a forgási sebesség a giroszkóp.
Összefoglalva megjegyezzük, hogy a jelenség a precessziós figyelhető meg atomok miatt körpályás mozgását az elektronok.
Alkalmazási példák dinamika törvényei
forgómozgást
1. Nézzük néhány példát a törvény megőrzése perdület, hogy lehet megvalósítani padon Zhukovskogo. A legegyszerűbb esetben Zhukovskogo pad egy tárcsa alakú platform (ülés), amely szabadon foroghat egy függőleges tengely körül, golyóscsapágyas (ábrák 5.17). Demonstrátor ül vagy áll a padon, ami után vezet a forgómozgást. Mivel a súrlódási erő alkalmazásával csapágyak nagyon kicsi, impulzusnyomatékhajtómű álló rendszer a pad és a demonstrátor, a forgástengely nem változik az időben, ha a rendszert magára maradt. Ha a demonstrátor, aki olyan nagy súlyzó és széttárja a karját a kezében, ez növeli a tehetetlenségi nyomatéka a rendszer, és ezért csökkenteni kell a szögsebesség hogy a lendület változatlan maradt.
A törvény szerint a természetvédelmi impulzusmomentum képezik az egyenlet ebben az esetben
ahol - a tehetetlenségi nyomaték az emberi és padok, és - a tehetetlenségi nyomatéka a súlyzó az első és a második helyzet, és - a szögsebesség a rendszer.
Szög rotációs rendszer hígítási sebesség irányába a súlyzókat egyenlő lesz
Által végzett munka a személy, amikor mozog a súlyzókat lehet meghatározni a változás kinetikus energia a rendszer
2. Itt egy másik élmény egy padon Zhukovsky. A tüntető ül vagy áll a padra, és átadta gyorsan forgó kerék függőleges tengely (5,18). Ezután demonstrátor fordul a kerék 180 0. A változás impulzusnyomatékhajtómű kerekek továbbított teljes egészében a padon, és demonstrátor. Ennek eredményeként a padon a demonstrátor jön forgatni szögsebességgel alapján határozzák meg a törvény megőrzése perdület.
Impulzusnyomatékhajtómű a rendszer kezdeti állapotban esetben csak a kerék perdület és
ahol - a tehetetlenségi nyomaték a kerék, - szögsebesség forgása.
Miután fordul a kerék szögben 180 0 pulzus pont a rendszer már összege határozza meg a perdület egy személy padon, és a kerék nyomaték impulzus. Tekintettel arra a tényre, hogy a vektor pillanatban a kerék lendület megváltoztatta irányát, és a vetítés a függőleges tengelyen negatív volt, megkapjuk
ahol - a tehetetlenségi nyomatéka a rendszer „ember-platform” - szögsebessége a padon a férfi.
A törvény szerint a természetvédelmi impulzusmomentum
Ennek eredményeként, azt találjuk, hogy a forgási sebességét a padon
3. Egy vékony rúd egy m tömegű, l hosszúságú forgatjuk szögsebességgel # 969 = 10 s -1 vízszintes síkban függőleges tengely körül középpontján átmenő a rúd. Folytatva forgatni ugyanabban a síkban, mint a rúd úgy mozog, hogy a forgás tengely áthalad a végén a rúd. Keresse meg a szögsebesség a második esetben.
Ebben a problémát annak a ténynek köszönhető, hogy a tömegeloszlás a rúd képest a forgástengely változik a tehetetlenségi nyomatéka a rúd is változik. Összhangban a törvény megőrzése perdület egy elszigetelt rendszer, van
Itt, - tehetetlenségi nyomatéka a rúd képest egy tengely középpontján átmenő a rúd; - a tehetetlenségi nyomatéka a rúd képest egy olyan tengely, amely átmegy annak végén, és megállapította, a Steiner-tétel.
Behelyettesítve ezeket a kifejezéseket a megmaradás törvényét perdület, megkapjuk
4. A rúd hossza L = 1,5 m, és m1 = tömege 10 kg felfüggesztik elforgathatóan a felső végén. A közepén a rúd eléri a golyó tömege m2 = 10 g, repülő vízszintes sebességgel = 500 m / s, és a beragadt az aknában. Mekkora szögben eltérített rúd az ütközés után?
Mi képviseli látható. 5.19. „Rod-bullet” rendszer kölcsönható testek. Pillanatok a külső erők (gravitáció, a reakció tengely) az ütközés pillanatában nulla, így tudjuk használni a törvény megőrzése perdület
Nyomaték impulzus rendszer pin pont golyó impulzus relatív felfüggesztési pont
Impulzusnyomatékhajtómű a rendszer, miután a rugalmatlan ütközés határozza meg a képlet
ahol - a tehetetlenségi nyomatéka a rúd tekintetében a felfüggesztés pontjától, - a tehetetlenségi nyomatéka a golyó, - a szögsebesség a rúd egy golyó közvetlenül az ütközés után.
Egyenlet megoldását követően kapott cserét, azt látjuk,
Most a törvénye mechanikai energia megmaradás. Egyenlővé a kinetikus energia rúd, miután elütötte egy golyó a potenciális energia a legmagasabb pontjáig terjedő utazás:
ahol - a magassága emelés a tömegközéppontja a rendszer.
Miután a szükséges átalakításokat, megkapjuk
A hajlásszöge a rúd van társítva a arány értéke
A számítások elvégzése kapjuk = 0,1p = 18 0.
5. Meghatározzuk a gyorsulás szervek és fonal feszültsége meghajtó Atwood, feltételezve, hogy (5.20). A tehetetlenségi nyomaték blokk tekintetében a forgástengelyhez R sugarú egyenlő I. blokk. Súly fonal elhanyagolt.
Helyezze az összes ható erők a rakomány egység, illetve a megfogalmazott dinamika egyenletek
Ha nincs csúszás a menetes blokk, a lineáris és szöggyorsulás kapcsolódnak a
Megoldása ezeket az egyenleteket, megkapjuk
Akkor azt találjuk, T1 és T2.
6. Kereszt Oberbeck tárcsa (ábra 5.21) fonalat csatolt egy felfüggesztett teher tömeg M = 0,5 kg. Annak meghatározására, hogy mennyi ideig terhelés süllyed egy magassága h = 1 méter, hogy az alsó helyzetbe. r = sugara a szíjtárcsa 3 cm. A négy teher tömege m = 250 g-onként a távolból R = 30 cm-re a tengely vannak szerelve egy kereszt. A tehetetlenségi nyomaték a kereszt, és a tárcsa elhanyagolt összehasonlítva a tehetetlenségi nyomaték terhelés.
Alkotunk dinamikus egyenletek ebben a rendszerben:
A szöggyorsulás a szíjtárcsa társított a gyorsulás a terhelési arány. és a tehetetlenségi nyomatéka a kereszt rakomány Oberbeck egyenlő.
Behelyettesítve ezeket a kifejezéseket, és oldja az egyenletrendszert a gyorsulás, megkapjuk
Süllyesztés ideje terhelést a következő egyenletből meghatározzuk az egyenletesen gyorsuló mozgás útját
Számítások így t = 4,47s.
7. Annak igazolására, a megmaradási törvények alkalmazott Maxwell ingát, amely egy masszív lemezt R sugarú, és egy m tömegű. szorosan illeszkedik a tengelye a r sugarú. amely fel van függesztve a két korábban seb rajta szálból (5,22). Amikor az inga megjelent, elvégzi a váltakozó irányú mozgással egy függőleges síkban forgatása közben a lemez tengelye körül. Nem veszi figyelembe az erők ellenállását és a tehetetlenségi nyomaték tengelyre, hogy meghatározzák a gyorsulás transzlációs mozgása az inga és az erő a szálfeszítő.
dinamika egyenletei a transzlációs és rotációs mozgása az inga Maxwell van formájában
Ebben a rendszerben a egyenletek T - egy szál húzóerő, - a tehetetlenségi nyomatéka a lemezt, és - a szöggyorsulás.
Megoldása az egyenletnek, azt látjuk, :.
Fonal feszültsége határozza meg az első egyenletből
8. Szilárd homogén lemez R sugarú forgó szögsebességgel. elhelyezett vízszintes alapfelületre. Hány fordulat felhajtja megáll, ha a súrlódási együttható a lemez alap és a vízszintes felület megegyezik # 956;.
A súrlódási erőt alkalmazni minden egyes részét a lemez, és mivel ezek a területek különböző távolságokban a tengely, a súrlódási erők és nyomatékok az említett területekre különböző. Ahhoz, hogy megtalálja a kapott pillanatban alkalmazott differenciálás módszer. Osszuk be a meghajtót keskeny gyűrű. Az egyik ilyen gyűrű r sugarú és szélessége dr árnyalt ris.5.23. A terület a gyűrű
és a súrlódási erőt ható a kiválasztott gyűrű,
ahol h - vastagsága a lemez, # 961; - a sűrűsége a lemez anyaga.
Jelenleg ez a súrlódási erő egyenlő
Integrálása tekintetében r nulláról R. kap a teljes súrlódási nyomaték
A által végzett munka a súrlódási erők által meghatározott általános képletű
ahol - a forgásszög a lemez, és N - a fordulatok számának a lemez megáll.
Másrészt, a munkát a súrlódási erők egyenlő a csökkenése a kinetikus energia a lemez, azaz
ahol - a tehetetlenségi nyomatéka a meghajtót.
Egyenlővé kifejezések kapott átalakítása után talál
1. Abban a pillanatban egy erő tekintetében egy fix pont - vektor egyenlő a vektor termék a sugár vektor az O pont a pont az erő alkalmazása az erő
Pillanata erő viszonyítva rögzített tengely - egy skaláris érték egyenlő a vektor vetülete az időtengely erő:
Az érték független a választott O pont a Z tengellyel
2. impulzusnyomatékhajtómű egy anyagi pont képest a fix pont O - vektor által meghatározott értékre vektor termék a sugár vektor az anyag pont húzott pont O pont a lendület ez az anyag
A perdület egy anyagi pont mozog egy kör mentén
3. tehetetlenségi nyomatéka képest rögzített tengely - az értékek összege az elemi tömegek négyzetének a távolságok a tengely: