A konvergencia váltakozóan
Opredelenie.Znakochereduyuschimsya sorozat egy sor formájában
ahol - pozitív számok.
A váltakozó sorokban a következő elegendő feltétele konvergencia:
Leibniz tétel. Ha a tagok a váltakozó sorozat (4.1), csökkenés abszolút értéke, és korlátozza annak általános kifejezés nulla, akkor a sorozatot konvergál, és annak összege nem nagyobb, mint az első ciklus.
Ie annak érdekében, hogy vizsgálja meg a váltakozó sorozat konvergenciáját, elegendő, hogy ellenőrizze a következő két feltételnek:
Megjegyzés. (3.2) végezhetjük kezdve egy.
Fedezze fel a konvergencia a következő sorozat:
Határozat. mert tagjai a sorozat abszolút értékek csökkennek monoton :. és általában. és az általános kifejezés a sorozat nullához, amikor alapján, a Leibniz jellegzetes sorozata konvergál.
Határozat. Ellenőrzése feltételt (3.2). Bizonyítsuk be ez az egyenlőtlenség nehéz. Ezért alkalmazni a következő módszerrel: bizonyítják, hogy monoton csökken egy bizonyos időközönként a formában számítástechnikai differenciálhányados, és tanulmányok (ez már megtörtént a §2, a IV, 2. példa). A mi esetünkben. és a függvény monoton csökken egy adott időszakban. Ezért az egyenlőtlenség (3.2) teljesül minden. kezdve három.
Ellenőrizzük állapot (3.3). Ehhez ki kell számítani. Segítségével L'Hospital-szabály, megkapjuk. Következésképpen ,.
így mindkét feltétel Leibniz tétel teljesül, és így a sorozat konvergál.
Definíció. Sorozat hívják váltakozó. ha néhány tagja is mind pozitív, mind negatív.
Nyilvánvaló, hogy egy váltakozó sorozat egy speciális esete váltakozó.
Feltesszük, most, hogy a felvétel
Vannak pozitív és negatív.
Tétel. (Modular konvergencia kritériumnak alternáló sorozatával).
Ha a szubsztituens abszolút értékeinek a kifejezések a váltakozó sorozat (3.4):
konvergál, akkor konvergál, és a sorozatot.
Megjegyezzük, hogy ha a sorozat (3.5) eltér, ebből nem következik, hogy a sorozat (3.4) is eltérő. Például a sorozat konvergál alapján Leibniz, és számos abszolút értékeinek tagjai (a harmonikus sor) eltér.
Ebben a tekintetben, tudjuk be a koncepció abszolút és feltételes konvergencia:
Definíció. Váltakozó sorozat nevezzük abszolút konvergens. ha a sorozat, amely az abszolút értékek tagjai.
Definíció. Váltakozó sorozat nevezzük feltételesen konvergens. ha a sorozat, amely az abszolút értékek. eltér, és a sorozat konvergál.
Például, egy szám hagyományosan konvergens (lásd. 1. példa). A sorozat abszolút konvergens, hiszen álló sorozat az abszolút értékek. konvergál (generalizált harmonikus).
Nagyjából elmondható, hogy a különbség az abszolút és feltételes konvergens sorozat a következő: abszolút konvergens sor konvergens elsősorban annak a ténynek köszönhető, hogy tagjai gyorsan csökken, és feltételesen konvergálnak - ennek eredményeként a tényt, hogy a pozitív és negatív értelemben részben kioltják egymást.
Tulajdonságok abszolút és feltételesen konvergens sorozat jelentősen különbözik: abszolút konvergens sor tulajdonságokkal emlékeztető véges összegek: ők összeadás, szorzás, átrendezett tekintve a sorozat. Feltételesen konvergens sorozat ilyen tulajdonságokkal nem rendelkeznek. Vegyük például egy feltételesen konvergens sorozat. Mi átrendezheti a feltételek ülések és a csoport azokat az alábbiak szerint:
Átírása a számot (miután az első tevékenységet minden konzol):
Látjuk, hogy a permutáció szempontjából az összege csökkent 2-szer.
Meg lehet mutatni (Riemann-tétel), hogy az átrendeződés feltételesen konvergens sorozat is kap egy számot, amely bármilyen előírt összeget, és még egy eltérő sorozat.
Fedezze fel a soraiban az abszolút és feltételes konvergencia.
Határozat. A sorozat, amely az abszolút értékek a jelen sorozat: konvergál az összehasonlítás alapjául, mivel . és néhány - konvergál (általánosított harmonikus sorozat). Ezért ez a sorozat abszolút konvergens.
Határozat. Alkotják a sorozat abszolút értékeinek a feltételeket a sorozat :. Vizsgálja meg ezt a sorozatot konvergencia a határ összehasonlító vizsgálat, összehasonlítva azt egy referencia mellett (p felvenni összehasonlítása során), és csak akkor, ha az egyenlőség fok a számláló és a nevező, azaz címen. így a szemben sorok eltérő. Így a sorozat modulokból álló, oddsok, és nincs abszolút konvergencia.
Megvizsgáljuk a váltakozó sorozat segítségével Leibniz tag. Egyértelmű, hogy:
Mindkét Leibniz jellemző pontok készülnek, ezért a száma, feltételesen konvergens.
Fedezze fel a soraiban az abszolút és feltételes konvergencia:
Eddig azt vizsgáltuk a soraiban, amelynek tagjai voltak szám, azaz numerikus sorozat. Mi most úgy a sorozat, amelynek tagjai egy funkció, különösen, teljesítmény funkciók nemnegatív egész kitevők:
Definíció. Series (4.1) nevezzük teljesítmény. és ez a szám az úgynevezett együtthatók hatványsor.
Tekintsük a teljesítmény sorozat és több általános formája:
(Fokban). Ez a szám nem különbözik alapvetően a sorozat formájában (4.1), mivel csökken egy egyszerű változás a változók.
Definíció. Az értékrend. amelyben a teljesítmény sorozat (4.1) vagy (4.2) konvergál az úgynevezett régió a konvergencia a teljesítmény sorozat.
konvergencia terület szerkezete hatványsorba van beállítva az alábbi tétel:
1) Ha a hálózati sorozat formájában (4.1), azaz a hatáskörét. konvergál egy értéket (nullától eltérő), akkor konvergál, sőt, abszolút, minden értékére, hogy.
2) Ha a hálózati sorozat formájában (4.1) divergál egy értéket. amennyivel eltér úgy, hogy minden értéket.
Abel-tétel adódik a következő tétel.
Tétel. Régió konvergencia a hatványsor formájában (4.2), azaz egy sor hatáskörét. Ez egy intervallum középpontja a ponton ér véget a pontok és.
A számot hívták a sugár a konvergencia. és az intervallum - az intervallum konvergencia hatványsorba. A végén az intervallum a konvergencia, azaz a ha a kérdés a konvergencia vagy divergencia a sorozat döntött egyedileg sorozat.
Néhány konvergencia a sorozat intervallum fajul egy pontot (a), míg mások fedezi a teljes valós tengelyt (a).
Indításához jelzik meghatározására olyan módszert az intervallum a konvergencia a teljesítmény sorozat a példa a (4.1).
Tekintsük a sorozat, amely az abszolút értékek a jelen sorozat:
mert minden adott sorozat (4.3) egy numerikus znakopolozhitelnym mellett, akkor a kérdés tisztázása a konvergenciaprogram használhatják a d'Alembert teszt:
Tegyük fel, hogy ott
Aztán alapján a d'Alembert sorozat konvergens, ha (ez), majd távolodik ha (ez).
Ennélfogva, a sorozat (4.1) konvergál abszolút ha és széttartóvá. és a konvergencia intervallum egy intervallum. és a sugár a konvergencia a számot.
Amikor d'Alembert-féle vizsgálat nem ad választ a kérdésre, hogy a konvergencia, ezért szükséges, hogy ebben az esetben az értékeket a tartományban (4,1), hogy vizsgálja meg a kapott számsor minden esetben.
Megjegyzés. Az intervallum konvergencia megtalálható segítségével a gyökér teszt (is felvisszük a sorozat (4.3)):
Keresse meg a területet a konvergencia hatványsorok:
Határozat. Tekintsük a sorozat, amely az abszolút értékek a feltételeket a sorozat
Alkalmazza a d'Alembert-féle teszt.
Így megkapjuk az intervallum konvergencia :.
Megvizsgáljuk a konvergencia a végén az intervallum:
Ha az eredeti sorozat formájában történik: - általánosított harmonikus sorozat alatt. ezért konvergál. Amikor kap egy abszolút konvergens sor. mert sorozat modulokból álló tagjainak konvergálnak.
Ennek következtében az az intervallum a konvergencia az űrlap :.
Határozat. A sorozat tagjai modulok formájában:
A sorozat konvergál egyáltalán. Így a konvergencia intervallum egy intervallum.
Határozat. A sorozat, amely az abszolút értékek a feltételeket a sorozat. Azt vizsgálja a root teszt:
Következésképpen, a terület konvergencia a sorozat egy pontot.
Így megkapjuk az intervallum konvergencia :.
Amikor az eredeti sorozat a következő: - egy eltérő sorozat (a generalizált harmonikus at). Behelyettesítve. Kapunk egy feltételesen konvergens sorozat. Végül több intervallumban konvergencia az űrlap :.
Tulajdonságok hatványsorok
1. A összege hatványsor egy folytonos függvény a teljes körű konvergencia a sorozat.
2. A teljesítmény sorozat lehet integrálni távon távú bármely szegmensben. fekvő tartományban konvergencia
3. A hatványsor belül az intervallum konvergencia eltérő lehet Terminusonként tetszőleges számú alkalommal. Ebben az esetben, akkor megkapjuk a hatalom sorozat az azonos sugarú konvergencia:
Feladatok. Keresse meg a területet a konvergencia hatványsorok:
84. 85. (Megjegyzés. A vizsgálat a konvergencia jobb végén intervallum tekintve, hogy faktoros nagy számban lehet kifejezni kb Stirling-formula).
Taylor és Maclaurin sorozat
Tegyük fel, hogy az adott funkciót. meghatározott és végtelenül differenciálható a környéken pont. felírható az összeg a teljesítmény sorozat, vagy más szavakkal, bővíthető egy hatványsor
Fejezzük együtthatók a sorozat révén. Keressük differenciálhányados. differenciáló Terminusonként számos alkalommal:
Abban a hitben, az egyenlőség kapunk. Kapjuk. . . . .... ahonnan
Helyettesítve az együtthatók. (5,1), megkapjuk a sorozat:
úgynevezett Maclaurin sorozat.
Vegye figyelembe, hogy nem minden funkció lehet bővíteni egy Maclaurin sorozatban. Lehet, hogy a Maclaurin sorozat összeállított hivatalos funkciókat. Ez divergens vagy konvergens, hogy nem működik.
Ha olyan Maclaurin sorozat formájában. ahol - én részleges összege - edik fennmaradó sorozat, tudjuk megfogalmazni a következő tétel:
Tétel. Ahhoz Maclaurin sorozat konvergál a funkciót. szükséges és elegendő ahhoz, hogy a maradékot szám nullához, azaz összes érték az intervallum a konvergencia a sorozat.
Azt bizonyítja, hogy ha a funkció bővült egy Maclaurin sorozat, ez egy egyedülálló bomlás.
Megjegyzés. Maclaurin sorozat egy speciális esete az Taylor-sor:
A Taylor-sor szorosan kapcsolódó Taylor képlet:
. ahol - a fennmaradó távú Taylor formula, amely lehet írott formában a Lagrange: