A gyökerek a polinom
4. A gyökerek a polinom. Több gyökereit. Algebra alaptétele (OTA). Térség tétel. Polinomok valós együtthatók
Definíció. A számot hívják a gyökér a polinom if.
Azáltal Bezout tétel, ez egyenértékű.
Definíció. A számot hívják a sok gyökér a polinom akkor és. A gyökerek a multiplicitás 1 nevezzük egyszerű gyökerek, a gyökerek a multiplicitás nagyobb, mint 1 nevezzük többszörös gyökerek.
Tétel. Ha - a gyökere sokaságának, akkor - a gyökere sokfélesége. Ha - a közös gyökér, majd - több gyökér.
Bizonyítás. Let - gyökere sokfélesége.
1. Ha, akkor - a gyökere sokfélesége.
2. Ha a gyökér, akkor azt - szeres gyökere a polinom.
Algebra alaptétele
Algebra alaptétele történet itt olvasható.
Tétel. Bármilyen polinom komplex mező egy gyökér.
Vázlata a bizonyíték. Tegyük fel, hogy van egy polinom
(Feltesszük, egyenlő 1. Ha elosztjuk a polinom szerezni polinom azonos gyökerek, akinek). Tekintsünk egy sor pontok - a kör középpontja az origó. Így ez a zárt vonal.
1. Lehetőség van, hogy elég kicsi, hogy (a fő befolyásoló tényezők) eredetű nem tartalmazza a területen, ahol az érték (, egyébként root).
2. Vegyünk egy nagy ahhoz, hogy a származási része volt a terület, ahol.
A folytonosság a funkció 0.
Következmény. Irreducibilis a mező fölé csak polinomok az első fokú.
- a terjeszkedés az a komplex számok. majd
\ displaystyle
\ Alpha_1 + \ alpha_2 + \ ldots + \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 + \ alpha_1 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_n = \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_ \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ Ldots \\
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ ldots \ alpha_n = (- 1) ^ n \ frac.
\ End "title =" \ begin
\ displaystyle
\ Alpha_1 + \ alpha_2 + \ ldots + \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 + \ alpha_1 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_n = \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_ \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ Ldots \\
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ ldots \ alpha_n = (- 1) ^ n \ frac.
\ End "style =" vertical-align: -86px; border: none; „/>
A bizonyítás közvetlenül végzett nyitó zárójel.
Polinomok a valós számok
Lemma. Let - polinom valós együtthatós - a komplex szám. Aztán.
Következmény. Ha - komplex gyökere polinom valós együtthatók, és - gyökér.
Tétel. Az igazi területen irreducibilis polinomok az első fokú, másodfokú polinom diszkrimináns negatív, és csak azokat.
Bizonyítás. Az a tény, hogy ezek a polinomok irreducibilis, nyilván. Megmutatjuk, hogy nincsenek mások.
Let - irreducibilis polinom valós együtthatók. Akkor nincs valós gyöke, de ez összetett gyökereit.
Let - egyikük. Aztán - egy gyökér. Ez azt jelenti.
- valós szám. Így - egy polinom valós együtthatók, és van osztva. Mivel nem csökkenthető vége, akkor. - másodfokú polinom diszkrimináns negatív mivel különben lehetne felett bomlik.
Következmény. Bármilyen polinom valós együtthatók (kivéve állandók) bővíthető a mező fölé, az első és a második szorzók mértékben.
1. Keresse meg a harmadik fokú polinom-együtthatók és a vezető tényező egység tartalmaz:
2) 1 2-szeres gyökér és a gyökér a 3.
2. Keresse meg a négyzetének összege a gyökerek egyenlet
3. Ismert, hogy az egyenlet
amely három különböző kiváltó negatív egészek. Find.
4. Ismert, hogy az egyenlet
3-nak valódi gyökereit, amelyek összege nulla. Find.