A feszítőfa egy gráf
Legyen G - összefüggő gráf. Fa csúcshalmaza a csúcsok halmaza G. és élek élek a gráf úgynevezett feszítőfa a gráf Más szóval, a feszítőfa gráf G - egy részgráf, amely minden csúcsot, és egy fa.
Példa. Ábra. A 2. ábra egy grafikon, öt csúcsok és nyolc élek. Négy kiválasztott élek (együtt öt csúcsok) képezik a feszítőfa A grafikon. Feszítőfának nem egyértelműen meghatározott.
Ábra. 3 kiemelt élek alkotó másik feszítőfa a grafikon (megjegyzendő, hogy az ezen az ábrán nem jelölt bordák is alkot feszítőfának).
Az alkalmazott kifejezések a probléma megtalálásának feszítőfának lehet értelmezni, mint a keresési kapcsolatrendszer pontok közötti felesleges átfedések.
Építése a feszítőfa. Egy feszítőfa T G képezhető a következőképpen. Először veszünk T egy tetszőleges csúcsa a gráf továbbá egymás kiépítése a T fa szerint a következő szabály: ha a G gráf egy él csúcsokat összekötő u és v, amelyre u tartalmazza T. és v -
Nem T add, hogy ez él a v csúcs. Megmutatjuk, hogy a fa marad ez a grafikon T. Először is, minden hozzáadott csúcsa van társítva egyik már szereplő T. úgy, hogy az új, csomópontok és élek elhagyja a gráf T csatlakoztatva. Továbbá, a kezdeti időben gráf T tartalmaz egy csúcsot, és sem a bordák. Ezután minden egyes lépésében építése a csúcsok száma és az élek száma növekszik. Így a száma T csúcsok egységnyi meghaladja a száma az éle. Ezért a gráf T egy fa. Egy bizonyos ponton további bővítése T lehetetlen lesz. Megmutatjuk, hogy ebben az esetben a T egy feszítőfa a gráf azaz minden a gráf G hozott T. Let T „görbe, amely tartalmazza az összes a gráf G. nem csapdába T. és minden összekötő élek velük. A G gráf nem élek, amelyek egyik vége a felső T., és a másik a T”. Mivel a G gráf van kötve, a T „nem lehet egy nem üres.
Legyen n - csomópontok száma, és m - száma szélei a gráf Bármilyen annak feszítőfának T a csúcsot n és n - 1 borda. Így a feszítőfának kapjuk eldobásával az m - n + 1 számú éle a gráf # 61.677; (g) = m - n + 1 nevezzük cyclomatic számát a gráf
Egy feszítőfa egy G gráf nyerhető, ezt követően eltávolítjuk # 61.677, (G) «felesleges» bordák: minden
lépést, akkor dobja ki él, ha nem vezet megsértését a grafikonon.
Tegyük fel, hogy egy pozitív számot rendelt minden éle a grafikon, az úgynevezett érték vagy tömeg (ez lehet, például abban az esetben, adathálózatok, a költségek a kapcsolat létrehozásakor a végpontok között). Ebben az esetben a grafikon van betöltve. Érték súlyozott gráfok, feltesszük a teljes költsége az éle. Sok kapcsolatos problémák az építőiparban hatékony rendszerek kommunikációs vagy információs rendszerekhez, ami a probléma megtalálni a minimális feszítőfa költség.
Legyen G - csatlakozik betöltött grafikonon. Jelölje C (t) egy tetszőleges értéket T részgráfot gráf Ha a csatlakoztatott gráf T tartalmazza az összes a gráf G, és egy minimális érték között részgráfok G. mivel ez a két tulajdonság, akkor T jelentése feszítőfa. Sőt, ha a gráf tartalmaz ciklus T, lehetséges lenne, hogy csökken a legalább egy borda, és ezáltal csökkenti a T költségeket.
Bemutatjuk egy algoritmust építésére feszítőfa a legkisebb költséggel. Úgy kapjuk meg enyhén módosította az algoritmus építésére feszítőfa egy gráf. Először vesszük T tetején a gráf éle, ahonnan a legkisebb költséggel. Továbbá, míg
lehetséges T. következetesen épít fel egy fára szélétől minden a gráf csúcsainak összekötő u ∈T és v ∉T. Mi választjuk ki a legkisebb költség egy él, és adjunk hozzá a T ez az él a v csúcs. Végrehajtásából származó, a feszítőfa algoritmus lesz egy minimális költség.
Példa. Ábra. 4 kiosztott feszítőfa a legkisebb költséggel. Ennek értéke egyenlő 6. feszítőfának ábrán látható. 2, ugyanolyan becslések bordák bekerülési értéke 8, feszítőfának látható. 3 - a költség a 8, nem szelektált élek ábrán. 3 képeznek feszítőfának